約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷

狄利克雷是德國數學家，1805年2月13日生於迪倫，1859年5月5日卒於哥廷根。

狄利克雷出生於一個具有法蘭西血統的家庭。自幼喜歡數學，在年少時將零用錢積攢起來買數學書閲讀。中學畢業後，父母希望他學習法律，但狄利克雷卻決心攻讀數學。他先在迪倫學習，後到哥廷根受業於高斯。1822年到1827年間旅居巴黎當家庭教師。在此期間，他參加了以傅里葉為首的青年數學家小組的活動，深受傅里葉學術思想的影響。1827年在波蘭佈雷斯勞大學任講師。1829年任柏林大學講師，1839年升為教授。1855年，高斯逝世後，他作為高斯的繼任者被哥廷根大學聘任為教授，直至逝世。1831年，他被選為普魯士科學院院士，1855年被選為英國皇家學會會員。 ^[2] 

狄利克雷通過中學畢業考試後，父母希望他攻讀法律，但他已選定數學為其終身職業。當時的德國數學界除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學，於是狄利克雷決定到數學中心巴黎上大學，那裏有一批燦如明星的數學家，諸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒讓德(Legendre)、J．傅里葉(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克魯瓦(Lacroix)、J．B．比奧(Biot)等。

1822年5月，狄利克雷到達巴黎，選定在法蘭西學院和巴黎理學院攻讀；其間因患輕度天花影響了聽課，幸好時間不長。1823年夏，他被選中擔任M．法伊(Fay)將軍的孩子們的家庭教師。法伊是拿破崙時代的英雄，時任國民議會反對派的領袖。狄利克雷擔任此職，不僅收入頗豐，而且受到視如家人的善待，還結識了許多法國知識界的名流。其中，他對數學家傅里葉尤為尊敬，受其在三角級數和數學物理方面研究的影響頗深。另一方面，狄利克雷從未放棄對高斯1801年出版的數論名著《算術研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的鑽研。據傳他即使在旅途中也總是隨身攜帶此書，形影不離。當時還沒有其他數學家能完全理解高斯的這部書，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人。可以説，高斯和傅里葉是對狄利克雷學術研究影響最大的兩位數學前輩。

1825年，狄利克雷向法國科學院提交他的第一篇數學論文《某些五次不定方程的不可解》(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)。他利用代數數論方法討論形如x5+y5=A·z5的方程。幾周後，勒讓德利用該文中的方法證明了

當n=5時無整數解；狄利克雷本人不久也獨立證明出同一結論。(後來狄利克雷再次研究費馬大定理時，證明n=14時該方程無整數解。)

1825年11月，法伊將軍去世。1826年，狄利克雷在為振興德國自然科學研究而奔走的亞歷山大·馮·洪堡(Alexander von Humboldt)的影響下，返回德國，在佈雷斯勞大學獲講師資格(他在法國未攻讀博士學位，而由科隆大學授予他榮譽博士頭銜，這是獲得講師資格的必要條件)，後升任編外教授(extraordinary professor，為介於正式教授和講師之間的職稱)。

1828年，狄利克雷又經洪堡的幫助來到學術空氣較濃厚的柏林，任教於柏林軍事學院。同年，他又被聘為柏林大學編外教授(後升為正式教授)，開始了他在柏林長達27年的教學與研究生涯。由於他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，諄諄善誘，培養了一批優秀數學家，對德國在19世紀後期成為國際上又一個數學中心產生了巨大影響。

1831年，狄利克雷成為柏林科學院院士。同年, 他和哲學家摩西·門德爾松 (Moses Mendelssohn) 的外孫女麗貝卡·門德爾松-巴托爾特 (Rebecca Mendelssohn-Bartholdy, 音樂家費利克斯·門德爾松之姐) 結婚。

1855年，高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到哥廷根大學任教。與在柏林繁重的教學任務相比，他很欣賞在哥廷根有更多自由支配的時間從事研究(這一時期主要從事一般力學的研究)。可惜好景不長，1858年夏，他去瑞士蒙特勒開會，作紀念高斯的演講，在那裏突發心臟病。狄利克雷雖平安返回了哥廷根，但在病中遭夫人中風身亡的打擊，病情加重，於1859年春與世長辭。

在數論方面，他對高斯的《算術研究》進行了研究，並有所創新。對費馬大定理，他給出當n=14時，無整數解的證明；還探討了二次型、多項式的因子、二次和雙二次互反律等問題；還開創了解析數論的研究。 ^[3] 

狄利克雷在柏林的早期數論工作，集中在改進高斯《算術研究》及其他數論文章中的證明或表述方式。如高斯給出的二次互反律的第一個證明相當煩瑣，需對8種情形作分別的處理；狄利克雷簡化了這一證明，把全部情形歸結為2種。其後，他在高斯的理論中引入了一些更深入的問題和結果。如為解二元型理論中的某些困難問題，他開始討論三元型的課題，提出了一個富有成果的新領域。

1837年7月27日，狄利克雷在柏林科學院會議上，提交了對勒讓德的一個猜想的解答，他證明任一形如an+b，n=0，1，2，…的算術級數，若a，b互素，則它含有無窮多個素數(即算術級數的素是複數)和二元二次型類數的計算等分析學工具和方法，成為解析數論的開創性工作。

1842年，狄利克雷開始研究具有高斯係數的型，首次運用了“鴿巢原理”——若將多於n個的物體放入n個盒子，則至少有一個盒子含有多於一個的物體，它在現代數論的許多論證中起重要作用。

1846年，他在屬於代數數論的單元理論的文章“復單元理論(Zur Theorie der complexen Einheiten)中，獲得了一個漂亮而完整的結果，現稱狄利克雷單元定理：對由一個不可約方程及其r個實根和s對復根定義的代數數域 K=Q(α)，一切單元構成的阿貝爾羣的秩為r+s-1，其有限階元部分由域中單位根組成。

1863年，狄利克雷的《數論講義》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的學生和朋友R．戴德金(Dedekind)編輯出版，這份講義不僅是對高斯《算術研究》的最好註釋，而且融進了他在數論方面的許多精心創造，之後多次再版，成為數論經典之一。

在分析方面，狄利克雷其中一項的工作是對傅立葉級數收斂性的研究。他在1822——1825年期間在巴黎會見傅立葉之後，對傅立葉級數產生了興趣。日本數學家丸山哲郎説：“把任意函數用三角級數表示出來的傅立葉方法，被狄利克雷所繼承，他給出了關於傅立葉級數的收斂性證明。” ^[4] 

狄利克雷是19世紀分析學嚴格化的倡導者之一。1829年，他在克雷爾(Crell)雜誌發表了他最著名的一篇文章“關於三角級數的收斂性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)。該文是在傅里葉有關熱傳導理論的影響下寫成的，討論任意函數展成形如：1/2

+(

cosx+

sinx)+(

cos2x+

sin2x)+…的三角級數(現稱傅里葉級數)及其收斂性。早在18世紀，丹尼爾·伯努利 (Daniel Bernoulli) 和萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler) 就曾在研究弦振動問題時考察過這類級數。傅里葉在19世紀初用它討論熱傳導現象，但未慮及其收斂性。奧古斯丁·路易斯·柯西 (Augustin Louis Cauchy) 在1823年開始考慮它的收斂問題。狄利克雷在文中指出柯西的推理不嚴格，其結論也不能涵蓋某些已知其收斂性的級數。他進而考慮形式上對應於給定函數f(x)的三角級數的前n項的和，檢驗它跟f(x)的差是否趨於零，後成為判斷級數收斂的經典方法。狄利克雷證明：若f(x)是週期為2π的週期函數, 在 -π ＜x時, dx有限，則在f(x)所有的連續點處，其傅里葉級數收斂到f(x)，在函數的跳躍點處，它收斂於函數左右極限值的算術平均。這是第一個嚴格證明了的有關傅里葉級數收斂的充分條件，開始了三角級數理論的精密研究。

1837年, 狄利克雷再次回到上述課題，發表題為"Funktionen Durch Sinus- Und Cosinus-Reihen"的文章，其中擴展了當時普遍採用的函數概念(即由數學符號及運算組成的表達式為函數的概念)，引入了現代的函數概念：若變量y以如下方式與變量x相關聯，即只要給x指定一個值，按一個規則可確定唯一與之對應的y值，則稱y是獨立變量x的函數。為説明該規則具有完全任意的性質，狄利克雷舉出了“性狀極怪”的函數實例：當x為有理數時，y=1；當x為無理數時，y=0 ^[5]  現稱狄利克雷函數, 該函數在定義域內處處不連續 ^[5]  。但狄利克雷的連續函數概念仍是直觀的，並根據等距取函數值求和的方法定義其積分。在此基礎上，狄利克雷建立了傅里葉級數的理論。

狄利克雷在數學和力學兩個領域都做出了名垂史冊的重大貢獻，尤以分析、數論、位勢論為最。挪威著名數學家阿貝爾説：“狄利克雷是一位極有洞察力的數學家。” ^[4] 

1839年，狄利克雷發表了3篇涉及力學的數學論文，討論多重積分估值的方法，用於確定橢球體對其內部或外部任意質點的引力，開始了他對數學物理問題的研究。這方面最重要的文章發表於1850年，提出了研究拉普拉斯方程的邊值問題(現稱狄利克雷問題或第一邊值問題)：求滿足偏微分方程的位勢函數V(x，y，z)，使它在球面邊界上取給定的值。這一類型的問題在熱力學和電動力學中特別重要，也是數理方程研究中的基本課題。狄利克雷本人曾用所謂的狄利克雷原理給出了問題的解。1852年，他討論球在不可壓縮流體中的運動，得到流體動力學方程的第一個精確解。

勒熱納·狄利克雷逝後，其朋友且學生數學家戴德金將其數論的講述和其他結果整理、編輯，在1863年出版了他的遺著《數論講義》，其中包含了他在數論方面的許多成果。在分析方面，他先後發表了《關於三角級數的收斂性》、《用正弦和餘弦級數表示完全任意函數》，其中進一步發展了傅里葉級數的理論，並提出新的單值函數概念，還提出所謂“狄利克雷函數”、所謂“狄利克雷積分”等。他還在位勢論、熱學、磁學、數學物理等方面也有一些創造。 ^[3] 

狄利克雷很注重同德、法等外國數學家的交流。其主要論文收集在《狄利克雷論文集》裏，共2卷，分別出版於1889年和1897年。 ^[4] 

在數論中，狄利克雷定理説明對於任意互質的兩個數a,d，有無限多個質數的形式如a+nd，其中n為正整數，即在算術級數a+d,a+2d,a+3d……中有無限多個質數——有無限個質數模d同餘a。狄利克雷函數無法畫出圖像

歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如2n+1。

算術級數的質數定理：若a,d互質，則有

其中φ是歐拉函數。取d=2，可得一般的質數定理。

Linnik定理説明了級數中最小的質數的範圍：算術級數a+nd中最小的質數少於c*d^L，其中L和c均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。

Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。

分析學中，狄利克雷（Dirichlet）判別法是分析學中一條十分重要的判定法則，主要用於判定任意項數項級數的收斂、函數項級數的一致收斂、反常積分的收斂以及含參變量反常積分的一致收斂等。

1834年提出鴿巢原理（即抽屜原理），當時命名為Schubfachprinzip (drawer principle).

狄利克雷於1805年2月13日生於德國迪倫，1859年5月5日卒於哥廷根。

其家庭來自比利時的市鎮利克雷（Richelet），此乃其姓氏勒熱納·狄利克雷（le jeune de Richelet = 法語：來自利克雷的小夥子），他的祖父就生活在那裏。狄利克雷出身於行政官員家庭，他父親是一名郵政局長。狄利克雷少年時即表現出對數學的濃厚興趣，據説他在年少時就攢零用錢購買數學圖書。1817年入波恩的一所中學，除數學外，他對近代史有特殊愛好，人們稱道他是個能專心致志又品行優良的學生。兩年後，他遵照父母的意願轉學到科隆的一所教會學校，在那裏曾從師物理學家歐姆(Ohm)，學到了必要的物理學基礎知識。

其妻瑞貝卡·門德爾松（Rebecca Mendelssohn）是音樂家費利克斯·門德爾松的妹妹。