約當定理

前面（參看圖冊25～28）我們證明了，平面上任意兩個閉鏈的相交指數等於零。也許讀者寧願要更簡單的證明：在每個交點處，閉折線x或者進入閉折線y的內部，或者從內部出來到外部。因為進入點數等於出來點數（由於它們互相交替），所以交點總數是偶數。

這個證明可以認為是正確的，只要能説清楚“內部”概念的含義，但是這個概念完全不像初看起來那麼簡單。本節就要講清它。

同胚與圓周的閉曲線叫做簡單閉曲線。約當定理是這樣：平面上的任何簡單閉曲線都把這平面分成兩個區域（內部和外部）。

我們來説明這個定理的意義：取不在簡單閉曲線ι上的兩個點P和Q。如果P和Q可以被不與ι相交的折線所聯結，則説點P和Q對於曲線ι處在同一個區域。而如果聯結P和Q的任意折線都與ι相交，則説P和Q處在不同的區域。約當定理斷定：曲線ι在平面上決定兩個區域。當我們討論非常簡單的曲線（圓周、凸多邊形的周線，等等）時，約當定理像是“明顯的”。