算盤

儘管已經進入了電子計算機時代，但看一看古老的中國算盤，我們不能不欽佩祖先的極大智慧。一般的算盤多為木製(或塑料製品)，矩形木框內排列一串串等數目的算珠稱為檔，中有一道橫樑把珠分隔為上下兩部分，上半部每算珠代表5，下半部每算珠代表1。每串珠從右至左代表了十進位的個、十、百、千、萬位數。加上軟件——一套手指撥珠規則的運算口訣，就可解決各種複雜運算，甚至可以開多次方。算盤是現代計算機的前身，是古代中國計算技術的符號 ^[2]  。

算盤的新形狀為長方形，周為木框，內貫直柱，俗稱“檔”。一般從九檔至十五檔，檔中橫以梁，樑上兩珠，每珠作數五，梁下五珠，每珠作數一，運算時定位後撥珠計算，可以做加減乘除等算法 ^[3]  。

現存的算盤形狀不一、材質各異。一般的算盤多為木製（或塑料製品），算盤由矩形木框內排列一串串等數日的算珠，中有一道橫樑把珠統分為上下兩部分，算珠內貫直柱，俗稱“檔”，一般為9檔、11檔或13檔。檔中橫以梁，樑上2珠，每珠為5；梁下5珠，每珠為1 ^[3]  。

值得注意的是，算盤一詞並不專指中國算盤。從現有文獻資料來看，許多文明古國都有過各自的與算盤類似的計算工具。古今中外的各式算盤大致可以分為三類：沙盤類，算板類，穿珠算盤類 ^[3]  。

沙盤是在桌面、石板等平板上，鋪上細沙，人們用木棍等在細沙上寫字、畫圖和計算。後來逐漸不鋪沙子，而是在板上刻上若干平行的線紋，上面放置小石子（稱為“算子”）來記數和計算，這就是算板。19世紀中葉在希臘薩拉米斯發現的一塊1米多長的大理石算板，就是古希臘算板，現存在雅典博物館中。算板一直是歐洲中世紀的重要計算工具，不過形式上差異很大，線紋有直有橫，算子有圓有扁，有時又造成圓錐形（類似跳棋子），上面還標有數碼。穿珠算盤指中國算盤、日本算盤和俄羅斯算盤。日本算盤叫“十露盤”，和中國算盤不同的地方是算珠的縱截面不是扁圓形而是菱形，尺寸較小而檔數較多。俄羅斯算盤有若干弧形木條，橫鑲在木框內，每條穿着10顆算珠。在世界各種古算盤中，中國的算盤是最先進的珠算工具 ^[3]  。

算盤是中國傳統的計算工具，是由早在春秋時期便已普通使用的籌算逐漸演變而來的，它不但是中國古代的一項重要發明，而且是在阿拉伯數字出現之前曾被人們廣為使用的一種計算工具。中國是算盤的故鄉，在計算機已被普遍使用的今天，古老的算盤不僅沒有被廢棄，反而因它的靈便、準確等優點依然受到許多人的青睞。因此，人們往往把算盤的發明與中國古代四大發明相提並論，認為算盤也是中華民族對人類的一大貢獻。然而，中國是什麼時候開始有算盤的呢？從清代起，就有許多算學家對這一問題進行了研究，日本的學者也對此投入了不少精力。但由於缺少足夠的證據，算盤的起源問題直至今天仍是眾説紛紜 ^[4]  。

清代數學家梅啓照等人認為，算盤起源於我國的東漢、南北朝時期。其依據是，東漢數學家徐嶽曾寫過一部《數術記遺》，其中著錄了14種算法，第13種即稱“珠算”，並説：“珠算，控帶四時，經緯三才。”後來，北周數學家甄鸞對這段文字作了註釋：“刻板為三分，其上下二分以停遊珠，中間分以定算位。位各五珠，上一珠與下四珠色別，其上別色之珠當五，其下四珠，珠各當一。至下四珠所領，故‘雲帶四時’。其珠遊於三方之中，故云‘經緯三才’也。”這些文字，被認為是我國最早關於珠算的記載。但是近代的一些學者認為，《數術記遺》中所描寫的珠算，充其量不過是一種記數工具或者只能作加減法的簡單算板，與後來出現的珠算不能同日而語 ^[4]  。

清代學者錢大聽等人則認為，算盤出現在元朝中葉，到元末明初時已被普遍使用。其根據是，元代的陶宗儀在《南村輟耕錄》第二十九卷《井珠》中，曾引用當時的諺語形容奴僕：“凡納婢僕，初來時日擂盤珠，言不撥自動；稍久，日算盤珠，言撥之則動；既久，日佛頂珠，言終日凝然，雖撥亦不動。”後人稱此為“三珠戲語”。把老資格的奴婢比作算盤珠，撥一撥動一動，這説明當時的算盤在民間已經很普及。而宋末元初時期的劉因在《靜穆先生文集》一書中也有一首以《算盤》為題的五言絕句：“不作翁商舞，休停餅氏歌。執籌仍蔽簏，辛苦欲如何。”這也是算盤在元代出現的有力證明。此外，在《元曲選》“龐居土誤放來生債”一節中也曾提到“去那算盤裏撥了我的歲數”。到明朝時，永樂年間編纂的《魯班木經》中，已有製造算盤的規格、尺寸：“算盤式：一尺二寸長，四寸二分大。框六分厚，九分大，……線上二子，一寸一分；線下五子，三寸一分。長短大小，看子而做。”此外還出現了徐心魯的《算珠算法》、程大位的《直指算法統宗》、柯尚遷的《數學通軌》、朱載堉的《算學新説》等介紹珠算用法的著作，因此算盤在明代已被廣泛地使用這是毫無疑問的 ^[4]  。

隨着新史料的發現，又有專家認為，算盤應該起源於唐朝、流行於宋朝。其依據是，在宋代名畫《清明上河圖》中，畫有一家藥鋪，其正面櫃枱上赫然放有一架算盤，經中日兩國珠算專家將畫面攝影放大，確認畫中之物是與現代使用算盤形制類似的串檔算盤。而且1921年，在我國河北鉅鹿縣曾經出土了一顆出於宋人故宅的木製算盤珠，雖然已被水土淹沒八百年，但仍可見其為鼓形，中間有孔，與現代的算珠毫無二致 ^[4]  。

此外，持此種觀點的人還認為，在元初的蒙學課本《新編相對四言》中，有一幅九檔的算盤圖，既然在元初已為訓蒙內容，可見算盤在當時已是尋常之物，它的出現，至少可上推到宋代。況且那位寫《算盤》詩的劉因也是宋末元初時期的人，他的詩與其説是描寫元代的事物，還不如説是宋代事物的反映更為確切。同樣，陶宗儀的“三珠戲語”所見元人諺語中已有算盤珠之説，也反映出“是法盛行於宋矣” ^[4]  。

但如果據此認為算盤起源於宋代，其中似乎還有疑問。因為從形制上來看，宋代的算盤已經較為成熟，絲毫沒有新生事物常有的那種笨拙或粗糙。因此，較多的算學家認為，算盤的誕生還可上推到唐代。因為宋代以前的五代十國時期戰亂不斷，科技文化的發展較為滯緩，算盤誕生於此時的可能性較小。而唐代是中國歷史上的盛世，經濟文化都較發達，需要有新的計算工具，因此將使用了2000年的籌算演變為珠算，算盤在唐代被髮明是極有可能的 ^[4]  。

説明：珠算加法口訣是用來指導撥珠動作，進行運算的文字總結。為了能較清楚地瞭解口訣內容，先將加法口訣中的有關術語含義簡述如下 ^[5]  ：

“上”是指撥算珠靠梁 ^[5]  。

“下”是指撥上珠靠梁 ^[5]  。

“去”是指將靠梁的算珠撥去靠邊 ^[5]  。

“進”是指在前位（左一檔）上加數 ^[5]  。

口訣中的每句第一個字表示要加的數，最後一個字表示要撥動算珠的數 ^[5]  。

説明：珠算減法口訣共二十六句，分為直接減、破五減，退十減和退十補五減四種。減法口訣中有關術語的含義 ^[5]  ：

“上”是指撥下珠靠梁 ^[5]  。

“下”是指撥下珠離梁靠邊 ^[5]  。

“去”是指撥去靠梁的算珠，離梁靠邊 ^[5]  。

“進”是指在前位（左一檔）上加數 ^[5]  。

“退”是指在前位（左一檔）上減數 ^[5]  。

“還”是指在退去前位數後應在本位上加數 ^[5]  。

口訣中的每句第一個字表示要減的數，後面的一個字表示要撥動算珠的數 ^[5]  。

一一01一二02一三03一四04一五05一六06一七07一八08一九09

二一02二二04二三06二四08二五10二六12二七14二八16二九18

三一03三二06三三09三四12三五15三六18三七21三八24三九27

四一04四二08四三12四四16四五20四六24四七28四八32四九36

五一05五二10五三15五四20五五25五六30五七35五八40五九45

六一06六二12六三18六四24六五30六六36六七42六八48六九54

七一07七二14七三21七四28七五35七六42七七49七八56七九63

八一08八二16八三24八四32八五40八六48八七56八八64八九72

九一09九二18九三27九四36九五45九六54九七63九八72九九81

説明：乘法口訣每句由四個數字組成，前2個為漢字數字，後2個為阿拉伯數字。第一個數字指乘數，第二個數字指被乘數，第三、四個數字指乘積 ^[5]  。

為防止運算中加積錯梢，乘積一律南二位數字組成。即使乘積有效數字只有一位，也需於乘積前加0讀出，如6x1，口訣讀作一六06 ^[5]  。

一歸（用1除）：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九 ^[5]  。

二歸（用2除）：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五 ^[5]  。

三歸（用3除）：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二 ^[5]  。

四歸（用4除）：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二 ^[5]  。

五歸（用5除）：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八 ^[5]  。

六歸（用6除）：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二 ^[5]  。

七歸（用7除）：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四 ^[5]  。

八歸（用8除）：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六 ^[5]  。

九歸（用9除）：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八 ^[5]  。

説明：除數是一位數的除法叫“單歸”；除數是兩位或兩位以上的除法叫“歸除”。除數的首位叫“歸”，以下各位叫“除”。如，除數是534的歸除，叫“五歸三四除”，即用五歸口訣求商後，再用34除 ^[5]  。

空檔：某一檔的上、下都離梁的時候，叫做空檔。空檔表示這一檔沒有記數，或者表示0 ^[6]  。

空盤：算盤的各檔都是空檔是，表示全盤沒有記數，叫做空盤 ^[6]  。

內珠：靠梁記數的算珠，叫做內珠 ^[6]  。

外珠：離梁不記數的算珠，叫做外珠 ^[6]  。

撥上：是指將下珠撥靠梁 ^[6]  。

撥下：是指將上珠撥靠梁 ^[6]  。

撥去：是指將上珠或下珠撥離梁 ^[6]  。

本檔：是指正要撥珠記數的這一檔 ^[6]  。

前檔：是指本檔的前一檔，也叫左一檔（位） ^[6]  。

後檔：是指本檔的後一檔，也叫右一檔（位） ^[6]  。

漂珠：撥珠時用力過輕，不靠梁不着框，浮漂在檔中間的算珠 ^[6]  。

帶珠：撥珠時，把本檔或鄰檔不應撥入或撥去的算珠帶入或帶出叫帶珠 ^[6]  。

實珠：靠梁表示正數的算珠 ^[6]  。

虛珠：也叫負珠，是指算珠撥到既不靠梁又不靠框，表示負數的懸珠 ^[6]  。

置數：也教布數，按照計算的要求，把數字撥入算盤，為計算作準備 ^[6]  。

檔位：也叫檔次，是指檔的位次 ^[6]  。

錯檔：也叫錯位，是指運算過程中未將算珠撥入應撥的檔位 ^[6]  。

隔檔：也叫隔位，是指本數位左右空一檔的第二檔（位）。入隔位乘法中兩數相乘，積的個位打在被乘數的右兩位上；隔位除法中隔位商幾，指的是被除數首位的左兩位 ^[6]  。

進位：是指本檔加上一個數後，大於或等於10，須向前位加1，叫做進位 ^[6]  。

退位：是指在本檔減去一個數時本檔不夠，許向前面一位減1，叫做退位 ^[6]  。

首位：也叫最高位，是指一個多位數的第一個非零數字為首位。如3284中的3，0.0726中的7 ^[6]  。

末位：也叫最低位，是指一個多位數的最後一個數字。如3275中的5，120中的0，481.29中的9 ^[6]  。

次位：實質一個多位數的第二個數字。入3865中的8，0.4178中的1 ^[6]  。

清盤：撥去各檔靠梁的算珠，使全盤成為空盤，叫做清盤 ^[6]  。

全盤練習：算盤所有檔上，或大部分檔上作撥珠練習，以及按基本運算法則進行全面練習，叫做全盤練習 ^[6]  。

由於算盤製作簡單，價格便宜，珠算口訣便於記憶，運算又簡便，所以在中國被普遍使用，並且陸續流傳到了日本、朝鮮、美國和東南亞等國家和地區。當今，已經進入了電子計算機時代，但是古老的算盤仍然發揮着一定的作用 ^[7]  。