等待時間

在等待制隨機服務系統中，每個呼叫的等待時間是不一樣的。等待時間的統計特性作為系統的服務質量指標有：

呼叫等待時間r大於任意指定值t的概率分佈P（r>t）；呼叫需要等待的概率P（r>0）；流入呼叫的平均等待時間

；被遲延呼叫的平均等待時間

；平均等待呼叫數1。

系統的服務質量指標與話務量強度、設備數量、呼叫流特性及服務時長的統計特性有關。在工程中，主要用有關的數學模型來計算呼叫的等待時間及其概率分佈；

用愛爾蘭全利用度等待系統計算按等待制工作的話路設備；用克羅米林全利用度等待系統計算按等待制工作的控制設備；用克萊因羅克模型計算信息交換網的等待時間。

（1）愛爾蘭全利用度等待系統

系統的輸入過程是平均到達率為λ的泊松分佈形式的呼叫流。進入系統的呼叫，能夠佔用線束中任意一條空閒線（或設備）。呼叫佔用設備的時長，服從平均時長為1/μ的指數分佈。如果呼叫到達時，系統中n個設備都處在忙狀態，則呼叫排隊等待，直到有空閒設備為其服務。而且系統按“先來到先服務”的原則為等待呼叫提供服務。該等待系統模型如圖所示。該橫型常用符號M/M/n表示，第一個字母M代表泊松輸入過程，第二個字母M代表指數分佈的服務時長，第三個字母n代表服務設備數（系統容量）。

關於愛爾蘭全利用度等待系統，已給出計算系統狀態概率分佈和呼叫等待時間概率分佈的公式，其中包括著名的第二愛爾蘭公式（愛爾蘭公式C）。而且還給出計算呼叫的平均等待時長以及平均排隊長度等系統特性的公式。

（2）克羅米林全利用度等待系統

由CD克羅米林提出的、輸入過程為泊松呼叫流、佔用時長（或服務時長）為常數的全利用度等待系統，可用符號M/D/N表示。第一個字母M代表泊松呼叫流的輸入過程，第二個字母D代表佔用時長為常數分佈，第三個字母N代表系統的服務設備數。l932年，CD克羅米林發表了這個等待系統的研究成果。

呼叫到達系統時，如果系統中有空閒的設備，即可佔用（佔用時長為給定的一常數）。如果系統中沒有空閒設備，呼叫需排隊等待，直到有空閒設備為其服務。而且系統按呼叫到達的先後次序，順序地為呼叫提供服務。

（3）克萊因羅克模型

模型規定，網中任意兩節點j與k之間的通信只有一個路由。節點之間由兩條單向的鏈路連接，由j至k的鏈路，記作（J，k）；由k至j的鏈路則記作（k，j）。

圖中以一個三節點信息網為例，説明克萊因羅克模型的計算方法。

假設輸入的是泊松呼叫流。節點j用户呼叫節點k的符號平均到達率（平均發生強度）為

。用户送至通信網的全部符號到達強度

令λi為鏈路i上的符號平均到達率，它的值完全由相關的rjk和規定的路由所決定。何如，對於圖中的網絡有

若符號長度服從平均值為1/μ（比特/符號）的指數分佈．每個符號從一個節點向另一個節點傳送時，都將按照指數分佈，以1/μ的平均值賦予新的符號長度。雖然這個假設不完全符合信息交換網的實際情況，但它卻簡化了理論計算，使該模型更容易應用於實際工程設計。這是克萊因羅克模型的一個主要特點。