等值函數

對於函數f（x）與g（x），若存在區間[m，n]（m

對於函數f（x）與g（x），若存在區間[m，n]（m<n），使得f（x）與g（x）在區間[m，n]上的值域相等，則稱f（x）與g（x）為等值函數。

等值函數的法向量的表達式與函數的梯度的表達式一致。

梯度是對一個函數而言的，它代表此函數變化最快的方向，設有函數W=f(x,y,z)，則其梯度為：

而對於法向量，其存在是對於幾何實體存在的，如曲線或曲面，對於函數W=f(x,y,z)其代表的幾何實體可以是多種多樣的，如變形為W-f(x,y,z)=0,則代表四維幾何體，若對W取某特定值C,即f(x,y,z)=C，則代表三維空間的等值曲面。此時關注第二種情形，即函數W=f(x,y,z)取某定值C,此時f(x,y,z)=C,則為所謂的等值函數，其代表着等值曲面，對於等量面f(x,y,z)=C，其法向量的求解為

（法向量的求解方法基本原理為假設x,y,z的參數方程，利用複合函數的求導法則得到法向量）,至此，對比GradW與n，可以發現兩者表達式一致，所以有等值函數f(x,y,z)=C的法向量與函數W=f(x,y,z)的梯度相等這一説法，從此中可以看出正是因為“等值函數的法向量為什麼等於其梯度 ”這一説法掩蓋了梯度是對函數W=f(x,y,z)而言，法向量是對等量面f(x,y,z)=C而言這一實質，對上述説法的更準確的描述應該是：（參照復旦數學系教材）梯度函數是由數量函數W=f(x,y,z)產生的，在每一點P處的梯度方向與過P點的等量面f(x,y,z)=C在這點法線方向相同。並且GradW=n ^[1]  。

若

與

為等值函數，求a的取值範圍。

要使

與

為等值函數，則函數f(x)與g(x)單調遞增，則

即m,n是方程

的兩個不同的根，則等價為f(x)與m(x)=x，有兩個交點即可。

令

，即

，則

。

要使f(x)與m(x)=x，有兩個交點，則

，即

，

，即

，

解得：

綜上：

。