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笛沙格對合定理
鎖定
1639年笛沙格在其著作中提出了“笛沙格對合定理”，其中列出了“完全四點(線)形”和“四點(線)偶”的概念
[1]
。笛沙格對合定理指的是通過一個已知四點形的頂點所作的二次曲線束與不通過任何一個頂點的直線相交成一對合，其中以同一條二次曲線與該直線的交點為對合對應點。
- 中文名
- 笛沙格對合定理
- 外文名
- Desargues' Involution Theorem
- 所屬學科
- 射影幾何
- 提出者
- 笛沙格
- 提出時間
- 1639年
- 提出者國籍
- 法國
笛沙格對合定理射影變換和對合
兩個點列之間的一個一一對應
，如果它使其中一個點列上任意4點的交比在變換前後保持不變，即
且
，則這個對應稱為射影對應。特別地，當這兩個點列重合時（即直線上的任何一點的像仍在這條直線上），稱為射影變換。
對合由兩組對應點唯一確定，即如果已知對合當中的兩組對應點
和
，那麼這個對合存在且唯一。
對於同一直線上的點列間的射影變換，如果點
是一對互逆的對應點，那麼任意一點
和它的對應點
也是互逆的，即射影變換中只要有一對對應元素滿足對合的定義，那麼其他對應元素也都滿足對合的定義。
笛沙格對合定理定理
笛沙格對合定理代數證明
設
為通過四個已知點的兩條二次曲線。作二次曲線束方程
從上式中消去
得到
這是關於
的對稱雙線性方程，式中
和
的係數相等，所以對合。
笛沙格對合定理幾何證明
分兩種情況證明，分別是退化情況和非退化情況。
笛沙格對合定理退化情況
完全四點形的三組對邊被不通過其頂點的任一直線所截，得到的三組點對是同一個對合的三對對應點。又如果直線也不經過這個完全四點形的對邊點，則這三組點對都由不同的點構成。
它的對偶命題是：
完全四線形的三組對頂點與不在其邊上的任一點相連，得到的三組直線對是同一個對合的三對對應直線。又如果點也不在這個完全四線形的對角線上，則這三組直線對都由不同的直線構成。
笛沙格對合定理——退化情形
因此交比
在這個射影變換中，
互為對應點，所以這個射影變換成為一個對合，即
和
也是這個對合的一對對應點。
笛沙格對合定理非退化情況
若一簡單四點形內接於一條二次曲線上，不經過這四個頂點的直線與二次曲線相交於兩點，則這兩點是由四點形的兩組對邊與直線相交所得的兩組點對所確定的對合的對應點。
它的對偶命題是：
若一簡單四線形外切於一條二次曲線，過不在這四邊上的定點作二次曲線的兩條切線，則這兩條切線是由四線形的兩組對頂點與定點相連所得的兩組直線對所確定的對合的對應直線。
利用二次曲的射影定義，這條二次曲線可以看成是由中心在
上的射影線束的對應直線的交點構成，即：
於是有
，因此交比
在這個射影變換中，
互為對應點，所以這個射影變換成為一個對合，即
和
也是這個對合的一對對應點。而一個對合由兩組對應點所確定，所以
是由
和
所確定的對合的一組對應點。
笛沙格對合定理逆定理
笛沙格對合定理的逆也成立，這就是：
若一簡單四點形
的兩組對邊與不經過這四點的直線相交，交點分別為
，則由這兩組點對所確定的對合中，任何一組對應點
都在四邊形
的某條外接二次曲線上（包括退化情況）。
笛沙格對合定理特殊情況
如果上圖中的
重合，那麼四邊形的一條邊
就成為了切線，此時定理依然成立，這就是三角形中的笛沙格對合定理。
若一三角形內接於一條二次曲線上，不經過三角形頂點的直線與二次曲線相交於兩點，則這兩點是某個對合的對應點，這個對合由直線與三角形其中兩邊的一組交點，以及直線與三角形第三邊和第三邊對頂點處的切線的交點所確定。
而如果
也重合，這時候邊
也變成了切線，而邊
則重合為切點弦，定理依然成立。這就是下面的：
