空間軸反射變換

軸反射變換簡稱軸反射，是歐氏幾何中一種重要變換。在歐氏平面上或歐氏空間中，把任一點A映成關於給定直線S對稱的點A′的變換稱為關於直線S的軸反射變換，直線S稱為反射軸。平面軸反射是第二種正交變換，空間軸反射變換亦稱半周旋轉，它是旋轉角為π的空間繞反射軸的旋轉，因而是第一種正交變換。在軸反射變換下，連結每一對對應點A，A′所得到的線段都垂直於S，且被S所平分。反射軸上的每一點都是不動點，在平面直角座標系中，若以x軸為反射軸，則軸反射的代數表達式為

其中(x，y)，(x′，y′)分別是變換前的點與它的對應點的座標。

軸反射(軸對稱，半周旋轉) 在旋轉變換中，旋轉的角可能是180°，於是第一圖形上任意一點M的對應點，將是M對於它在軸上的射影m的對稱點M'(圖1) ^[2]  。

繞一直線作180°的旋轉，叫做對於這直線的反射或軸反射(或軸對稱，或半周旋轉)。

這時，不需指出軸的指向，軸反射是自逆的，就是説，用同樣的作法於求得的點M'，便重新回到點M。.

由上面所説可知：可由軸反射互得的兩個圖形是全等的 ^[2]  。

空間的軸對稱變換是空間的等距變換的特殊情形，因此，空間等距變換的所有一般性質，對於空間的軸對稱變換都是正確的 ^[3]  。

空間正交變換的分解是空間合同(正交)變換的重要特徵之一，空間中任何合同變換都可以分解為若干平面反射之積，而且積中因子可以不超過四個。如果合同變換能表成偶數個平面反射之積，則是一個運動變換。如果合同變換能表成奇數個平面反射之積，則是一個第二種合同變換。具體地：

1.幺變換是任何一個平面反射與自身的積。

2.平移是兩個反射面平行且垂直於平移方向的平面反射之積，兩反射面的距離是平移距離的一半。

3.旋轉是兩個反射面相交於旋轉軸的平面反射之積，兩反射面的夾角是旋轉角的一半，軸反射是半周旋轉，可分解為反射面相交於對稱軸且互相垂直的兩個平面反射之積。

4.螺旋運動是旋轉與平移的積，因而可分解為四個平面反射之積，其中兩個表示旋轉，兩個表示平移。

5.旋轉反射是旋轉與平面反射之積，因而可分解為三個平面反射之積，其中兩個之積表示旋轉。

6.滑行反射是平移與平面反射之積，因而可分解為三個平面反射之積，其中有兩個之積表示平移 ^[1]  。