空間旋轉變換

一個空間到其自身的變換，如果它滿足下述條件，就叫作繞軸a，旋轉角為φ的空間旋轉。

(1)對於空間的任一點P及其對應點P'，同在垂直於直線a的平面M上；

(2)兩點P，P'到直線a的距離相等，即OP=OP'(如圖1所示)。

(3)由OP到OP'的旋轉方向規定為，當φ>0，就表示右手擰螺旋往軸的正向前進時的方向；如果φ<0，就表示用右手擰螺旋往軸的逆向前進時的方向，這裏∠POP'=φ。

在繞軸旋轉角φ的空間旋轉變換下，平面變成平面、直線變直線，平行的平面或平行的直線其平行性不變。

一個圖形F，如果繞某個軸旋轉一定角φ後仍變為其自身，這裏

（m是自然數，

），且滿足上述條件的最小的旋轉角，那麼這個圖形F叫做n次旋轉自對稱圖形 ^[2]  。

空間旋轉變換是一種特殊的幾何變換，指空間的所有點繞同一直線旋轉同一角度的變換。旋轉變換簡稱旋轉，是歐氏幾何中的一種重要變換，即在歐氏平面上(歐氏空間中)，讓每一點P繞一固定點(固定軸線)旋轉一個定角，變成另一點P′，如此產生的變換稱為平面上(空間中)的旋轉變換，此固定點(固定直線)稱為旋轉中心(旋轉軸)，該定角稱為旋轉角。旋轉是第一種正交變換，在平面直角座標系中，若旋轉中心為點M₀(x₀，y₀)，點P(x，y)繞M₀旋轉定角θ後變成點P′(x′，y′)，則平面上旋轉變換的代數表達式為

旋轉變換的逆變換也是旋轉變換，兩個繞同一點(同一軸線)的旋轉變換的乘積仍是旋轉變換，所有繞同一點(同一軸線)的旋轉變換的全體構成一個羣，稱為旋轉羣，在旋轉變換下，兩點間的距離與兩直線的交角均保持不變，旋轉變換的概念可以推廣到n維歐氏空間。繞O(0，0，…，0)點旋轉的代數表達式為

或用矩陣表示為：(x′_i)=(a_ij)·(x_i)，其中a_ij為常數，且(x′_i)，(x_i)均為n×1矩陣，矩陣(a_ij)是行列式等於1的正交矩陣 ^[1]  。

定理 對於空間兩次平面反射

的積，

(1)如果兩反射面

與

重合，則為恆等變換；

(2)如果兩反射面

，則為平移變換；

(3)如果兩反射面相交，則為旋轉變換 ^[2]  。

如果一個圖形F在合同變換f下對應於圖形F'，那麼稱圖形F與F'合同。

我們不難發現，合同變換下，兩個對應圖形F與F'的邊界方向(順時針方向或逆時針方向)或者是一致的，或者是反向的。因此，按照對應圖形的邊界方向可以將合同變換分為兩類：將使得對應圖形F與F'的邊界方向相同的合同變換稱為第一類合同變換(如圖2)，而將使得兩個對應圖形F與F’邊界方向相反的合同變換稱為第二類合同變換(如圖3)。因而，我們將在第一類合同變換下的對應圖形F與F‘稱為真正合同，而把第二類合同變換下的對應圖形F與F'稱為鏡像合同 ^[3]  。

利用上述分類方式，我們容易得到，平移變換、旋轉變換(即兩個反射變換的乘積)是第一類合同變換，而反射變換是第二類合同變換。

既然平移變換、旋轉變換是兩個反射變換的乘積變換，那麼(自然的思考)，合同變換是否也是幾個反射變換的乘積變換呢?

我們猜測並可以證明：

性質1任一合同變換至多可以表示為三個反射變換的乘積。

證明設合同變換ω由三對不共線的對應點A與A'，B與B'，C與C'所確定(圖4)。

作AA’的垂直平分線

，那麼，在以

為反射軸的反射變換下，△ABC變為△A'B₁C₁(若點A與A'重合，則沒有必要施行

)。此時，AB=A'B₁=A'B'。

再作線段B₁B'的垂直平分線

，則點A'必在

上，以

為反射軸的反射變換

將△A'B₁C₁變為△A'B'C₂(如果B₁與B'重合，也沒有必要施行變換

。此時A'C'=AC=A'C₁=A'C₂，B'C'=BC=B₁C₁=B'C₂。

最後作線段C'C₂的垂直平分線

，點A'、B'必在直線

上。在反射變換

的作用下，△A'B'C₂變為△A'B'C'(若點C'與C₂重合，則不必施行變換

，於是，

即

綜上所述，對於第一類合同變換，總可以表示為兩個反射變換的乘積；對於第二類合同變換，總可以表示為一個反射變換或三個反射變換的乘積，於是得下表 ^[3]  ：