空間多邊形

不在同一個平面內的若干線段(至少有四條)，首尾相接，並且最後一條的尾端和最初一條的首端重合，這樣組成的圖形叫做“空間多邊形”。例如圖１，空間四邊形就是最簡單的空間多邊形 ^[2]  。

【例1】 試證內接於空間四邊形的任何平面四邊形的對邊如果相交，那麼交點必定在空間四邊形的對角線上。

已知：如圖2，空間四邊形ABCD，又平面四邊形PQRS的頂點P、Q、R、S分別在線段AB、AD、CD、CB上，且PQ∩SR=K。

求證：K∈BD。

證明 ∵ P∈AB，Q∈AD，K∈PQ，

∴PQ⊂平面ABD，∴ K∈平面ABD，

同理K∈平面BCD，∴K∈BD。

説明：怎樣證明點在直線上?本題告訴我們，如果要證明點在兩個平面的交線上，那麼只需要證明這個點既在第一個平面上又在第二個平面上即可 ^[2]  。

1.證明:空間四邊形各邊的中點是平行四邊形的頂點。

提示 設A₁,B₁,C₁和D₁是邊AB.BC,CD和DA的中點，則A₁B₁ // AC和C₁D₁// AC,所以A₁B₁//C₁D₁(特別地,點A₁,B₁,C₁和D₁在一個平面上),類似地B₁C₁// A₁D₁。

2.證明:問題1中的平行四邊形的中心與連接四邊形對角線中點的線段的中點重合。

提示 設A₁,B₁,C₁和D₁是邊AB,BC,CD和DA的中點。再設P和Q是對角線AC和BD的中點，則線段A₁Q和PC₁平行於線段AD,同時這兩個線段每一個的長等於線段AD長的一半，因此A₁PC₁Q是平行四邊形，所以線段A₁C₁的中點與線段PQ的中點重合。

3. 證明:空間四邊形ABCD的對邊兩兩相等，當且僅當它們的對角兩兩相等。

提示 如果AB=CD和BC=AD，那麼三角形ABC和CDA全等，所以∠ABC=∠CDA，類似有∠BAD=∠DCB.。

現在假設∠ABC=∠CDA和∠BAD=∠DCB，我們考察四面體abed，它的界面垂直於四面體ABCD的邊，也就是AB⊥bed,BC⊥cda,CD⊥dab和DA⊥abc，根據條件平面bcd和cda之間的角等於平面dab和abc之間的角，即,稜ad上的二面角等於稜ab上的二面角。此外，稜bc上的二面角等於稜ad上的二面角，由兩對二面角的等式推得三面角abcd和cdba的相等(這兩個三面角在稜ac上的二面角是公用的)，由三面角的等式推得它們對應的面角相等，特別地，∠bac=∠dca 和∠acb=∠cad，所以 △abc≌△cda，類似地，△dab ≌△bcd。

4. 一個平面交空間多邊形

（或它們的延長線）於點

；點

在直線

上，證明

並且在多邊形的邊上（而不在它的延長線上）有偶數個點

。

提示 我們考察在垂直於已知平面的直線上的射影。所有的點

此時的射影在一個點B，而點

的射影在點

因為在射影變換下保持在一條直線上的線段的比例，那麼

已知平面分空間為兩部分，由頂點

走到

，我們由空間的一個部分變到另一個部分，僅當點

在邊

上。因為，完成多邊形的迴路我們返回到空間的起始的部分，那麼位於多邊形邊上的點

的數目是個偶數。

5. 在空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CA和AD上分別取點K,L,M和N，證明:這些點在一個平面上，當且僅當

提示 我們考察點N',它是平面KLM與直線DA的交點。根據問題4有

根據同一個問題點N'在線段AD上，因為點K,L和M在四邊形的邊上，而不在它們的延長線上。

點K,L,M和N在一個平面上當且僅當N=N'。所以在線段AD上的兩個點N和N'，有N=N'當且僅當DN':AN'=DN:AN ^[3]  。

6.已知頂點為

的空間閉折線，並且每個線節與規定的球交於兩個點，而折線的所有頂點在球外，這些點分折線為3n個線段。已知，毗鄰頂點A₁的線段彼此相等，同樣的條件對於頂點

也是對的，證明:對毗鄰頂點A_n的線段彼此也相等。

提示 毗鄰頂點A_i的線段相等，其中i=1，2，...，n-1，根據由一點引的割線段乘積的定理，位於球內部的這些線節上的線段也彼此相等。因此，位於球內部的所有線段彼此相等，因為對相鄰的頂點這些線段中的一個是共同的。所以它們等於對頂點A_n的線節，但此時根據同一個定理對毗鄰頂點A_n這些線節的線段也彼此相等。

7.已知四條直線，它們中的任三條不平行於一個平面，證明:存在空間四邊形，它的邊平行於這些直線，同時平行於對應直線的邊的比，對所有這樣的四邊形是相同的。

提示 設a,b,c和d是平行於已知直線的向量，因為在空間的不在一個

平面上的任意三個向量形成基底，那麼存在這樣的非零數a,β和γ，使得αa+βb+γc+d=0。向量αa、βb、γc、d是所求四邊形的邊。設α₁a、β₁b、γ₁c、d是另一個這樣的四邊形的邊的向量，則αa+βb+γc+d=0=α₁a+β₁b+γ₁c+d，即(α₁-α)a+(β₁-β)b+(γ₁-γ)c=0，因為向量a, b和c不在一個平面上，所以α=α₁，β=β₁和γ=γ₁ ^[3]  。