穩定系統

穩定系統是指輸入有界，輸出必有界的系統。對線性時不變系統，當且僅當系統的單位脈衝響應h(n)絕對可和（或稱絕對可加）時，系統穩定。

舉例而言，如下圖所示，一個鋼球分別放在不同的兩個木塊上，A圖放在木塊的頂部，B圖放在木塊的底部。如果對圖中的鋼球施加一個力，使鋼球離開原來的位置。A圖的鋼球就會向下滑落，不會在回到原來的位置。而B圖中的鋼球由於地球引力的作用，會在木塊的底部做來回的滾動運動，當時間足夠長時，小球最終還是要回到原來的位置。我們説A圖所示的情況就是不穩定的，而B圖的情況就是穩定的。

事實上，在實際的應用系統中，由於系統中存在儲能元件，並且每個元件都存在慣性。這樣當給定系統的輸入時，輸出量一般會在期望的輸出量之間擺動。此時系統會從外界吸收能量。對於穩定的系統振盪是減幅的，而對於不穩定的系統，振盪是增幅的振盪。前者會平衡於一個狀態，後者卻會不斷增大直到系統被損壞。

對於系統穩定性的判定，控制學家們提出了很多系統穩定與否的判定定理。這些定理都是基於系統的數學模型，根據數學模型的形式，經過一定的計算就能夠得出穩定與否的結論，其中，主要的判定方法有：勞斯判據、赫爾維茨判據、李亞譜若夫三個定理。這些穩定性的判別方法分別適合於不同的數學模型，前兩者主要是通過判斷系統的特徵值是否小於零來判定系統是否穩定，後者主要是通過考察系統能量是否衰減來判定穩定性。

具體到使用方法及形式上，可分為下列三種具體的判定方法：

從閉環系統的零、極點來看，只要閉環系統的特徵方程的根都分佈在s平面的左半平面，系統就是穩定的。

1、勞斯判據：

判定多項式方程在S平面的右半平面是否存在根的充要判據。——特徵方程具有正實部根的數目與勞斯表第一列中符號變化的次數相同。

利用開環頻率的幾何特性來判斷閉環系統的穩定性和穩定性程度，更便於分析開環參數和結構變化對閉環系統瞬態性能影響。——利用幅角原理——Z、P分別為右半平面閉環、開環極點，要想閉環系統穩定，則Z=P+N=0，其中N為開環頻率特性曲線GH（jw）順時針繞（-1，j0)的圈數。

幅值裕度——系統開環頻率特性相位為-180時（穿越頻率），其幅值倒數K，意義為閉環穩定系統，如果系統的開環傳遞係數再增大K倍，系統臨界穩定。

相位裕度——系統開環頻率特性的幅值為1時（截止頻率），其相位與180之和。意義為：閉環穩定系統，如果系統開環頻率特性再滯後r，系統進入臨界穩定。

低頻段——穩態誤差有關。L(w)在低頻段常見頻率為[-20]、[-40],也就是一階或二階無差（v=1/v=2)

中頻段——截止頻率附近的頻段，與系統的瞬態性能有關。為了具有合適的相位裕度（30~60），L（w）在中頻段穿過0分貝線的斜率應為[-20]，並且具有足夠的寬度。

高頻段——抗高頻干擾能力。高頻段閉環頻率特性近似於開環頻率特性，高頻段幅值分貝越小，則抑制高頻信號衰落的作用越大，抗高頻干擾越強。L（w）在高頻段應具有較大的負斜率。

4、根軌跡：

系統開環傳遞函數的某一參數變化造成閉環特徵根在根平面上變化的軌跡。

增加開環零點，根軌跡左移，提高相對穩定性，改善動態性能。零點越靠近虛軸影響越大。

增加開環極點，根軌跡右移，不利於系統穩定和動態性能

對於系統穩定的分析是對系統進行各類品質指標的分析的前提，與此同時，穩定是控制系統能夠正常運行的首要條件。

當然，系統的穩定性只是對系統的一個基本要求，一個另人滿意的控制系統必須還要滿足許多別的指標，例如過渡時間、超調量、穩態誤差、調節時間等。一個好的系統往往是這些方面的綜合考慮的結果。