稀薄氣體動力學

19世紀末，J.C.麥克斯韋和L.E.玻耳茲曼等人開始研究稀薄氣體的流動特性。當時，研究範圍限於氣流速度很低的情況，研究對象主要是真空技術中的孔流和管道流動。20世紀中葉，由於航空和航天事業的發展，這一領域的研究進展顯著。1946年錢學森從空氣動力學觀點總結了有關稀薄氣體的研究成果，指出在幾十公里高空飛行時將會遇到稀薄氣體動力學問題。他提出稀薄氣體動力學中三個流動領域的劃分，為研究稀薄氣體動力學作了開創性工作。後來，R.F.普羅布斯坦指出在高超聲速流動情況下，激波後氣體密度比波前要增加許多倍，這一點對流動區域劃分有重要影響。當時，主要的研究內容是稀薄氣體對物體的繞流問題，分析流動規律及流動同物體的相互作用。這種研究對衞星、載人飛船或航天飛機的發展起着重要的作用。研究飛行器繞流的實驗設備有低密度風洞、激波風洞（見風洞）和分子束裝置。近年來，稀薄氣體動力學研究在氣溶膠性狀、近壁面流動、 氣-面間相互作用、冷凝過程以及高真空下分子碰撞引起的物理化學反應等方面有較大的發展。

根據克努曾數的大小不同，稀薄氣體的運動分為滑流、過渡流和自由分子流三個領域。稀薄氣體動力學研究這三種不同流動的規律以及氣體與物體的相互作用，包括氣流對物體的傳熱、物體所受的阻力、舉力等。

稀薄氣體動力學利用分子運動論的方法,根據流動問題中氣體稀薄程度的不同,分析氣體分子離散結構的效應。分子運動論的基本方程─玻耳茲曼方程也是稀薄氣體動力學的基本方程。它是描述分子運動速度分佈函數f的變化規律的方程。設在時間t,在靠近點x的物理空間元dx內,在靠近速度v的速度空間元dv內的質點分子或光滑球分子的數目為fdxdv。f滿足下述玻耳茲曼方程：，

式中x (F，t)為作用在分子上的外力場；m為分子質量；Q(f，f)為碰撞積分，代表由分子相互碰撞引起的f的變化。為了求解玻耳茲曼方程，須引進邊界條件，即描述氣體分子與固體表面相互作用的條件。氣體分子與固體表面相互作用的理論迄今仍不完善，實驗數據尚不充分。分子在固體表面的反射依賴於固體表面與氣體分子的物理、化學本質和它們的温度，以及粘着於表面的氣體吸附層。現在一般利用麥克斯韋提出的反射模型。假設分子有α部分從表面完全漫反射，其餘(1-α)部分則完全是鏡面反射，自固體表面反射的分子，其分佈函數f_r由下式決定：

式中v_r為反射分子的速度；h_r=m/2kT_r;k為玻耳茲曼常數；Tr為物面温度；fi為入射分子的分佈函數;n為物體表面單位法向量；nr為反射分子的數密度；右端第二項為温度適應於表面温度的麥克斯韋分佈。實驗表明，麥克斯韋條件在α近於1時能給出滿意的結果。

將玻耳茲曼方程(1)兩端乘以分子的質量、 動量分量和動能，再將各項對速度空間積分就得到質量、動量和動能的輸運方程。從麥克斯韋分佈出發用小擾動法求解玻耳茲曼方程，相應的輸運方程的零階和一階近似即為流體力學中的歐拉方程和納維－斯托克斯方程（見流體力學基本方程組）。

在地面大氣中，氣體分子的平均自由程l為0.065微米,與一般物體特徵長度L相比為一小量（即克努曾數Kn=l/L遠小於1）,因而連續介質模型能與實驗基本相符。當Kn不是遠小於1時,氣體分子的離散結構便會影響流動規律，連續介質模型就不能反映實際，須用分子運動論的觀點來討論流動特性。對於一般尺寸的物體，只有在氣體密度很低時（如在高空大氣層和真空系統中），Kn數才不是小量。對於特徵長度十分小的物體，在正常密度下，Kn數也比較大。如在氣溶膠（具有超微小的液體或固體粒子的氣態懸浮體）中，粒子的尺寸可能從 0.001微米（分子團聚物的直徑）變化到100微米（霧滴或灰塵顆粒的大小）。研究5微米以下的氣溶膠粒子的行為，通常須考慮稀薄氣體效應。

在稀薄氣體動力學中，根據氣體稀薄的程度可按克努曾數Kn的不同將流動分為三個領域：0.01≤Kn≤0.1時,稱為滑流領域；0.1≤Kn≤10時，稱為過渡流領域；Kn≥10時，稱為自由分子流領域。滑流、過渡流和自由分子流分別對應於稍稀薄、中等稀薄和高度稀薄的流動條件。如考慮地球大氣，對於特徵長度為1米的物體，滑流領域約在80～100公里高空處，過渡流領域在100～130公里高空處,而130公里以上高空則為自由分子流領域。

在這領域中，非連續效應可以想象為對於一般連續介質理論的微小修正。在離開邊界的主流中，納維－斯托克斯方程成立。但在邊界上要考慮所謂滑移和温度跳躍條件。對於小的Kn數，在靠近固體邊界的區域內總會有一層厚度為分子平均自由程l的氣體,在其中要利用類似於式(2)的邊界條件求解玻耳茲曼方程，這一層稱為克努曾層。由於克努曾層的存在，求解納維—斯托克斯方程時要考慮如下的滑移速度和温度跳躍條件：

式中下標“0”指固體表面上的條件;η₁、η₂和ζ分別稱為滑移係數、熱蠕動係數和温度跳躍係數，其值依賴於分子反射模型,對於完全漫反射：η₁=1.15，η₂=2.20；l為平均自由程；ν₀為運動粘性係數。式(3)説明氣體速度在固體表面不為零，其中第一項來自剪應力，第二項來自流動方向的温度梯度，稱為熱蠕動項。 式(4)説明，在固體表面的流體温度T0不同於固體表面温度Tr。在克努曾層之外，可用納維－斯托克斯方程求解。此外，還有一些不同的方程，如伯內特方程和格拉德十三矩方程。但它們在理論上並不能使方程的可用區域擴大，在實踐上也未曾證明優於納維－斯托克斯方程。比用滑移速度和温度跳躍條件更為細緻的方法是在克努曾層中直接解玻耳茲曼方程或其模型方程，而在克努曾層之外則將解與連續介質解匹配銜接，以求解滑流領域內的問題。

在該領域內，這意味着分子在物體附近範圍相當大的一個區域內極少互相碰撞，從而可以忽略物體的存在所引起的對來流分佈函數的影響。入射流在與來流相聯繫的座標中的速度分佈是麥克斯韋分佈。當分子在物體表面的反射模型清楚時，可以通過簡單的求積得到氣體分子對於任意方位的表面元施加的應力和熱流值。再經簡單求積即可得總體的氣動力和熱傳導特性。

這一領域中分子平均自由程與流動特徵長度相比為同一量級，要用分子運動論方法求解。求解玻耳茲曼方程比較困難,目前僅得到一些低速(玻耳茲曼方程或其模型方程可以線性化)一維問題的解。計算機的發展導致過渡流領域研究中各種數值方法的出現，其中解決速度較高而維數不受限制的多種流動問題最有現實可能性的方法是直接模擬蒙特卡羅方法。

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