碰撞問題

碰撞問題

collision

黃天衣

從理論上説﹐不消除碰撞奇點就不可能得到多體問題的全局解。實際工作也要求解決碰撞和緊密接近時軌道的計算問題。

只要二體碰撞得到了詳盡研究﹐並適當選取參數﹐就可以毫無困難地把天體在碰撞前後的運動清楚地表示出來。兩個天體在相互引力的作用下﹐沿著一條近乎直線的軌道碰撞﹐然後就反彈回來。經過碰撞﹐這個系統的能量積分﹑動量矩積分和質量中心的運動狀態都保持不變。儘管碰撞時天體的加速度會無限增大﹐但是兩個天體之間的距離r 和其中任何一個天體的速度的平方之積r 卻趨於一個確定的有限值。所以﹐二體碰撞奇點是非本質的﹐可以通過一定的變換予以消除。

研究二體以上的碰撞問題要困難得多﹐至今還有很多問題未弄清楚。但可以肯定﹐若要所有天體都同時碰撞於一點﹐則該系統的動量矩的三個分量必須全部為零。因此﹐在研究該系統的一般運動狀態時可避開這種情況。在三體問題的三體碰撞方面﹐有一些更為具體的研究成果。首先﹐如發生三體碰撞﹐三個質點必須始終保持在一個平面上。另外﹐它們只能組成等邊三角形或連成一直線。發生在碰撞奇點鄰近三體碰撞軌道的座標的漸近表示式是形?（t －t） 項的線性組合﹐這些特徵指數 中有一個取值為2/3﹐其他一般是無理數。這説明與二體碰撞奇點不同﹐三體碰撞奇點是本性奇點。松德曼對三體問題的碰撞奇點作了深入的研究。他首先適當選擇初始條件﹐以排除三體碰撞﹐然後引入一個變量ω 代替t 作自變量﹐以消去所有的二體碰撞奇點。他證明了三質點的座標﹑它們相互間的距離以及時間 t 都是ω 的解析函數﹐因此能展開為它的收斂冪級數。而且這一點對於任何時刻都有效。松德曼級數是三體問題最重要的成果之一。

在N 個天體(質點)組成的多體問題中﹐在某一時刻如果每個天體受到的引力都指向該系統的質心﹐並且引力的大小正比於該天體的質量和它到質心的距離﹐就稱這 N 個天體組成的幾何形狀為中心構形。具有相似形狀的中心構形﹐都看成是同一類的。N 個天體在趨於N 體碰撞時﹐它們所組成的幾何形狀一定越來越接近於某類中心構形。如果這 N 個天體組成的系統具有無窮多類中心構形﹐則在趨於N 體碰撞時﹐就可能擺動於這些中心構形之間。

C.L.Siegel and J.K.Moser﹐Lectures on Celestial Mechanics﹐Springer-Verlag﹐Berlin﹐1971