短除法

如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的因數。因數和倍數都表示一個數與另一個數的關係，不能單獨存在。如只能説16是某數的倍數，2是某數的因數，而不能孤立地説16是倍數，2是因數。

"倍"與"倍數"是不同的兩個概念，"倍"是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的範圍內，相對於"約數"而言的一個數字的概念，表示的是能被某一個自然數整除的數，它必須是一個自然數。

幾個自然數，公有的因數，叫做這幾個數的公因數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公因數。例如：12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記為（12、16）=4。12、15、18的最大公約數是3，記為（12、15、18）=3。

幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。例如：4的倍數有4、8、12、16，……，6的倍數有6、12、18、24，……，4和6的公倍數有12、24，……，其中最小的是12，一般記為[4、6]=12。12、15、18的最小公倍數是180。記為[12、15、18]=180。

把每個數分別分解質因數，再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘，所得的積就是

這幾個數的最大公約數。例如：求24和60的最大公約數，先分解質因數，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質因數是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，

所以，（24、60）=12。

把幾個數先分別分解質因數，再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最小公倍數。例如：求6和15的最小公倍數。先分解質因數，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質因數是3，6獨有質因數是2，15獨有的質因數是5，2×3×5=30，30裏面包含6的全部質因數2和3，還包含了15的全部質因數3和5，且30是6和15的公倍數中最小的一個，所以[6，15]=30。

短除法求最大約數，先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所有的商互質為止，然

後把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公約數。例如，求24、48、60的最大公約數。

（24、48、60）=2×3×2=12

短除法求最小公倍數，先用這幾個數的公約數去除每一個數，再用部分數的公約數去除，並把不能整除的數移下來，一直除到所有的商中每兩個數都是互質的為止，然後把所有的除數和商連乘起來，所得的積就是這幾個數的最小公倍數，例如，求12、15、18的最小公倍數。

（12、15、18）=3×2×2×5×3=180

無論是短除法，還是分解質因數法，在質因數較大時，都會覺得困難。這時就需要用新的方法。

例如：求12與18的最大公因數。以下如有約數出現則為因數

短除法例題

12的因數有：1、2、3、4、6、12。

18的因數有：1、2、3、6、9、18。

12與18的公因數有：1、2、3、6。

12與18的最大公因數是6。

這種方法對求兩個以上數的最大公因數數，特別是數目較大的數，顯然是不方便的。於是又採用了給每個數分別分解質因數的方法。

12=2×2×3

18=2×3×3

12與18都可以分成幾種形式不同的乘積，但分成質因數連乘積就只有以上一種，而且不能再分解了。所分出的質因數無疑都能整除原數，因此這些質因數也都是原數的因數。從分解的結果看，12與18都有公因數2和3，而它們的乘積2×3=6，就是 12與18的最大公因數。

採用分解質因數的方法，也是採用短除的形式，只不過是分別短除，然後再找公約數和最大公約數。如果把這兩個數合在一起短除，則更容易找出公約數和最大公約數。

從短除中不難看出，12與18都有公約數2和3，它們的乘積2×3=6就是12與18的最大公約數。與前邊分別分解質因數相比較，可以發現：不僅結果相同，而且短除法豎式左邊就是這兩個數的公共質因數，而兩個數的最大公約數，就是這兩個數的公共質因數的連乘積。

實際應用中，把需要計算的兩個或多個數放置在一起，然後進行短除。