- 中文名
- 矩量母函数
- 外文名
- Moment Generating Function(MGF)
- 概 述
- ξ的MGF为exp(tξ)的数学期望
- 性 质
- mgf与其概率分布一一对应
- 应 用
- 求随机变量的各阶矩
- 所属领域
- 统计学
定义
播报编辑
定义1(矩量母函数)设
为乎赠舟随机变量,若存在某正实数
,使得对于区间
中任一实数t,数学期雄舟尝望
只键己享 均存在,则称
性质
播报编辑
(1)由泰勒级数
(3)不管概率分布是不是连续,矩量母函数都可以用黎曼-斯蒂尔切斯积分给出:
应用
播报编辑
常见分布的mgf
对于随机变量
,有如下结论: [1]
(1)若
,则
的mgf为
(2)若
,则
的mgf为
(3)若
服从参数为
的指数分布,则
的mgf为
求随机变量的矩
证明:由泰勒级数
相关函数
播报编辑
特征函数具有以下性质:
综合定义1和定义2,可得随机变量
的特征函数与其mgf之间存在如下关系:
对比特征函数的性质,随机变量的mgf也具有如下常用性质:
(1)如果两个随机变量具有相同的mgf,那么它们具有相同的概率分布; 反之, 如果两个随机变量具有相同的概率分布, 它们的mgf也相同。(即在mgf存在的情况下,随机变量的mgf与其概率分布相互唯一确定。)