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矩量母函数

统计学函数
在统计学中,矩又被称为动差(Moment)。矩量母函数(Moment Generating Function,简称mgf)又被称为动差生成函数
称exp(tξ)的数学期望为随机变量ξ的矩量母函数,记作mξ(t)=E(exp(tξ)). [1]
连续型随机变量ξ的MGF为:mξ(t)=∫exp(tx)f(x)dx,积分区间为(-∞,+∞),f(x)为ξ的概率密度函数
离散型随机变量ξ的MGF为:mξ(t)=∑exp(tx)p(ξ=x),其中连加号代表对ξ的所有取值连加,p(ξ=x)为ξ的概率分布函数
矩量母函数存在当且仅当上述积分(连加)极限存在。
中文名
矩量母函数
外文名
Moment Generating Function(MGF)
概    述
ξ的MGF为exp(tξ)的数学期望
性    质
mgf与其概率分布一一对应
应    用
求随机变量的各阶矩
所属领域
统计学

定义

播报
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定义1(矩量母函数)设
为乎赠舟随机变量,若存在某正实数
,使得对于区间
中任一实数t,数学期雄舟尝望
只键己享 均存在,则称
为随机变地蜜量
或其兆迁枣分布的矩量母函数(moment generating function),简记为mgf. [1]
另外,称矩量母函数的对数为累积量生成函数
定狼尝鸦炼胶体捆。

性质

播报
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以连续随机变量为例,离散型随机变量可做相同变换。
(1)由泰勒级数
其中,
是随机变量
的i阶中心矩。
(2)mξ(-t)是双侧拉普拉斯变换(Laplace Transform)。
(3)不管概率分布是不是连续,矩量母函数都可以用黎曼-斯蒂尔切斯积分给出:
其中,F(x)是累积分布函数(Cumulative Distribution Function, 简称CDF)。

应用

播报
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常见分布的mgf
对于随机变量
,有如下结论: [1]
(1)若
,则
的mgf为
(2)若
,则
的mgf为
(3)若
服从参数为
的指数分布,则
的mgf为
求随机变量的矩
设随机变量
的矩量母函数存在,则
的各阶矩存在且可由矩量母函数表示。具体地,
的k阶矩为矩量母函数在0点的k阶导数值,即对任意正整数k,有
特别地,有
证明:由泰勒级数
其中,
是随机变量
的i阶中心矩。上式左右两边同时对t求n阶导,得到
证毕。

相关函数

播报
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定义2(特征函数)设
为随机变量,称复随机变量
的数学期望
的特征函数,其中t为实数。
特征函数具有以下性质:
(1)如果两个随机变量具有相同的特征函数,那么它们具有相同的概率分布; 反之, 如果两个随机变量具有相同的概率分布, 它们的特征函数也相同(显然)。
(2)独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。
综合定义1和定义2,可得随机变量
的特征函数与其mgf之间存在如下关系:
对比特征函数的性质,随机变量的mgf也具有如下常用性质:
(1)如果两个随机变量具有相同的mgf,那么它们具有相同的概率分布; 反之, 如果两个随机变量具有相同的概率分布, 它们的mgf也相同。(即在mgf存在的情况下,随机变量的mgf与其概率分布相互唯一确定。)
(2)独立随机变量和的mgf等于每个随机变量mgf的乘积。