相平面

相平面法是龐加萊(Poincare．H)在1885年首先提出來的，是求解一階和二階線性或非線性系統的一種圖解法。　相平面分區控制方法是：根據相平面分區（不同的運行工況）而實施不同的控制作用，用那些控制作用來改變原有系統微分方程的運動軌跡。

大家都知道，相平面上的橫座標為偏差，縱座標為偏差變化率。“系統允許偏差正限”和“系統允許偏差負限”兩直線之間的區域稱為系統偏差零帶，簡稱“偏差為零”，“偏差零帶”之外的兩個區域分別稱為“偏差為正”和“偏差為負”；“系統允許偏差變化率正限”和“系統允許偏差變化率負限”

兩直線之間的區域稱為系統“偏差變化率零帶”，簡稱“偏差變化率為零”，“偏差變化率零帶”之外的兩個區域分別稱為“偏差變化率為正”和“偏差變化率為負”。

這四條直線將相平面劃分成九個區域，每個區域各用一個控制作用影響相軌跡就產生了系統運行的九種工況和對應的九個控制作用。

工況一：在相平面上偏差為正且偏差變化率為零所包含區域，對應系統單位階躍響應曲線的起始段。該工況對應的控制作用K3+，影響系統性能指標“延遲時間”。

工況二：在相平面上偏差為正且偏差變化率為負所包含區域，對應系統單位階躍響應曲線的上升區段。該工況對應的控制作用K2+，影響系統性能指標“上升時間”。

工況三：在相平面上偏差為零且偏差變化率為負所包含區域，對應系統單位階躍響應曲線系統運行在目標值附近，正在系統允許偏差正限和系統允許偏差負限的區段中。　該工況對應的控制作用K1-，此時系統運行在目標值附近而要克服上升慣性。

工況四：在相平面上偏差為負且偏差變化率為負所包含區域，對應系統單位階躍響應曲線穿越系統允許偏差負限的上升區段。該工況對應的控制作用K4-，影響系統性能指標“正超調量”。

工況五：在相平面上偏差為負且偏差變化率為零所包含區域，對應系統單位階躍響應曲線正超調峯值區段。該工況對應的控制作用K3-，影響系統性能指標“最大正超調量”。

工況六：在相平面上偏差為負且偏差變化率為正所包含區域，對應系統單位階躍響應曲線正超調下降區段。該工況對應的控制作用K2-，影響系統下降趨勢與速度。　工況七：在相平面上偏差為零且偏差變化率為正所包含區域，對應系統單位階躍響應曲線運行在目標值附近，正在系統允許偏差負限和系統允許偏差正限的區段中。該工況對應的控制作用K1+，此時系統運行在目標值附近而要克服下降慣性。

工況八：在相平面上偏差為正且偏差變化率為正所包含區域，對應系統單位階躍響應曲線負超調區段。該工況對應的控制作用K4+，影響系統性能指標“負超調量”。

工況九：在相平面上偏差為零且偏差變化率為零所包含區域，對應系統單位階躍響應曲線終值區段。該工況對應的控制作用K0，影響終值大小。

研究表明：（1）對於二階系統任意小的”上升時間”要求，總能找到滿足基本運行條件的一組控制作用以及合適的K2+，在固定2個邊界條件的情況下，使控制系統滿足上升時間的要求。　（2）

對於二階系統任意小的”

最大正超調量”要求，總能找到滿足基本運行條件的一組控制作用以及合適的K4-，在固定2個邊界條件的情況下，使控制系統滿足正超調量的要求。

（3）對於二階系統任意小的”

最大負超調量”要求，總能找到滿足基本運行條件的一組控制作用以及合適的K4+，在固定2個邊界條件的情況下，使控制系統滿足負超調量的要求。

（4）對於二階系統任意小的“允許誤差”要求，總能找到滿足基本運行條件的一組控制作用以及合適的K0，在固定2個邊界條件的情況下，使控制系統滿足

允許誤差要求。　總結各控制作用與相軌跡的變化關係如下。在相平面圖上，K4+和K4-能產生隨作用力增加而增加的向心力；而

K2+和K2-能產生隨作用力增加而增加的離心力；K1+和K1-起供能——耗能轉換間控制：K1-負責供能轉換成耗能時的控制，K1+

負責耗能轉換成供能時的控制，K3+和K3-能產生隨作用力增加而增加的向心力，以保證在穩態時的允許偏差界限更加牢靠；

K0在穩態平衡區域內調節。總結各控制作用與響應曲線的變化關係如下。在響應曲線圖上，K4+和

K4-能產生隨作用力增加而增加的消除負、正超調量的能力，當K4+和K4-作用力大到如此程度以至於任何二階系統都無法超出允許偏差正負界限；而K2+和K2-能產生隨作用力增加而增加的震盪能力；K1-負責供能轉換成耗能時的控制，K1+負責耗能轉換成供能時的控制；K3+和K3-能產生隨作用力增加而減少向允許偏差界限運動的能力，以保證在穩態時的允許偏差界限更加牢靠；K0在允許偏差界限內終值區調節。按這種原理工作的控制系統有9點控制器——相平面分區控制器，神經網絡相平面分區控制器等等。

相平面分區控制方法有以下優點：　1：系統性能指標由對應各分區內的控制作用單獨調整完成，因而調整方便。例如，減少系統“正超調量”則由增加控制作用K4-作用力而完成，減少系統“上升時間”則由增加控制作用K2+作用力而完成。　2：對象要求不嚴格。　3：抗干擾能力強。　4：魯棒性強。