直線公理

直線的基本性質(公理)： (1)經過兩點有一條直線，並且只有一條直線。(2)兩條直線相交，只有一個交點。因為直線是不定義的名詞，對直線概念的理解往往靠上述的基本性質。

【例1】已知點

，求

的面積。

解： 如圖1，設

邊上的高為

，則

邊上的高為

就是點

到

的距離。

邊所在直線的方程為

即

。

點

到

的距離

因此，

。

實際上，在以上解法中求直線

的方程可以不用兩點式，可以運用直線公理“兩點確定一條直線”通過觀察簡潔求解：

由點

及

，得點

均在直線

上，由“兩點確定一條直線”知，直線AB就是直線

，即直線AB的方程是

^[2]  。

【例2】 已知兩條相交直線

的交點是(5，3)，求過兩點

的直線的方程。

解：可得

所以

(否則

，兩條直線

重合)，把兩個等式相減，得

所以所求直線的斜率為

所求直線的方程為

簡解: 由“兩條相交直線

”知．點“

”是不同的兩點，還可得

。

由

知，點,

在直線

上；由

知，點

也在直線

上，所以由“兩點確定一條直線”知，直線

就是直線

，即直線

的方程是

^[2]  。

關於直線的基本性質，是用下面一組公理描述的 ^[3]  。

對於任意線段

，如圖2，存在一個自然數

，使得

阿基米德公理是説，無論線段OP如何小，點M離點O無論多遠，用線段OP在直線上連續截取足夠的次數，將得到終點Q，點Q在點M的右邊，即

。

對於直線上任意兩個不同的點

，在直線上至少存在一點

介於點A和點B之間，如圖3。

由公理很容易得到下面的推論。

推論 在直線上的點A與點B之間，存在着無限多個點。

對於直線上的線段

的無窮序列，如果滿足：

(1)

；

(2) 對於給定的任一小的線段

，總存在一個數

使得

，如圖4，

那麼存在唯一的點

，使得

(對一切

)，這個公理也叫做退縮線段原理，圖5是它的幾何解釋 ^[3]  。