直方圖規定化

圖像直方圖是圖像處理中一種十分重要的分析工具，它描述了一幅圖像的灰度級內容。從數學上來説，圖像直方圖是圖像各灰度值統計特性與圖像灰度值的函數，它統計一幅圖像中各個灰度級出現的次數或概率；從圖形上來説，它是一個二維圖，橫座標表示圖像中各個像素點的灰度級，縱座標為各個灰度級上圖像像素點出現的次數或概率，它是圖像最基本的統計特徵。 ^[3] 

直方圖有以下性質：

(1) 直方圖是一幅圖像中各像素灰度出現頻次的統計結果，它只反映圖像中不同灰度值出現的次數，而不反映某一灰度所在的位置。

(2) 任何一幅圖像，都有惟一確定的與它對應的直方圖，但不同的圖像可能有相同的直方圖。

(3) 由於直方圖是對具有相同灰度值的像素統計得到的，因此，一幅圖像各子區的直方圖之和就等於該圖像全圖的直方圖。

我們知道，直方圖均衡化處理有良好的圖像增強效果。從實現算法上可以看出，其優點主要在於能自動增強整幅圖像的對比度，但具體的增強效果也因此不易控制，只能得到全局均衡化處理的直方圖。然而在實際應用中，往往要根據不同的要求得到特定形狀的直方圖分佈，以有選擇地對某灰度範圍進行局部的對比度增強，即想要得到已知直方圖的增強圖像。此時，可以採用直方圖的規定化處理，通過選擇合適的規定化函數取得期望的效果。直方圖規定化就是針對這種思想提出來的一種直方圖修正增強方法。所以，從某種意義上，直方圖規定化可看作是直方圖均衡化方法的改進。 ^[3] 

直方圖規定化的目的就是調整原始圖像的直方圖使之符合某一規定直方圖的要求.設 P_r（r）和P_z（z）分別表示原始灰度圖像和目標圖像的灰度分佈概率密度函數.根據直方圖規 定化的特點與要求，應使原始圖像的直方圖具有P_z（z）所表示的形狀。因此.建立P_r（r）和 P_z（z）之間的關係是直方圖規定化必須解決的問題。 ^[2] 

根據直方圖均衡化理論，首先對原始圖像進行直方圖均衡化處理.即求變換函數

現假定直方圖規定化的目標圖像已經實現，因此，對於目標圖像也採用同樣的方法進行均衡化處理，因而有

上式的逆變換為

上式表明，可通過均衡化後的灰度級v求出目標函數的灰度級z。由於對目標圖像和原始圖像都進行了均衡化處理，因此具有相同的分佈密度，即

因而可以用原始圖像均衡化以後的灰度級s代表v，即

所以可以依據原始圖像均衡化後的圖像的灰度值得到目標圖像的灰度級z。 ^[2] 

根據上述理論推導，可以得出直方圖規定化處理的一般步驟如下：

(1) 根據直方圖均衡化原理，對原始圖的直方圖進行灰度均衡化處理；

(2) 規按照目標圖像的概率密度函數P_z（z），求解目標圖像進行均衡化處理的變換函數G（z）；

(3) 用原始圖像均衡化中得到的灰度級s代替v，求解逆變換z=G^-1（s）。 ^[2] 

經過上述處理得到的目標圖像的灰度級將具有事先規定的概率密度P_z（z）。上述變換過程中所包含的兩個變換函數T（r）和G^-1（s）可形成複合函數，即可表示為

由此可知，無需進行直方圖均衡化運算就可以直接實現直方圖規定化處理，通過複合函數關係有效的簡化了直方圖規定化處理過程，求出T（r）和G^-1（s）之間的複合函數關係就可以直接對原始圖像進行變換。 ^[2] 

圖1給出直方圖規定化的一個示例，這裏利用如圖1(b)所示的規定化函數對原始圖進行直方圖規定化的變換，得到的 結果見圖1(c)[其直方圖見圖3.3.2(d)所示]。由於規定化函數在高灰度區的值較大，所以與圖 1相比，變換的結果圖像比均衡化更亮，對應於均衡化圖中較暗區域的一些細節更為淸晰。從直方圖上看高灰度值一邊更為密集。 ^[4] 

直方圖規定化，設計程序如圖2：

程序運行結果如圖3所示： ^[5]