雙假位法

雙假位法（亦稱為盈不足術）是數學解題的一種方法。它是我國數學家首創的解題方法（出於《九章算術》）。1957年錢寶綜琮先生曾建議恢復“雙假位法”原來的名稱，仍叫“盈不足術”。《九章算術》中將其稱為“盈不足”問題。

《九章算術》的原編者提示瞭解法：“術日：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十鬥。令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。”劉徽的注是：“按大器容五斗，大器五，容二斛五斗。以減三斛，餘五鬥，即小器一所容。故日小器亦五斗，小器五，容二斛五斗，大器一容五斗，合為三斛。課於兩斛，乃多十鬥。令之大器五斗五升，大器五，合容二斛七鬥五升，以減三斛，餘二鬥五升，即小器一所容。故日小器二斗五升。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗五升，合為一斛八斗。課於二斛，少二斗。故曰不足二斗。以盈不足維乘之為實。並盈不足為法，除之。” ^[2] 

是中國古代獨立創造的解決數學問題的一種傑出的算法，大約在9世紀被傳到了阿拉伯，13世紀意大利數學家把它介紹到歐洲，並廣為傳播。在阿拉伯和歐洲的早期數學著作中，盈不足術被稱作“中國算法”、“試位法”、“雙設法”等等。它對世界數學的發展做出了貢獻。 ^[3] 

中國的盈不足術傳到阿拉伯國家後，被稱為“契丹算法”，就是中國算法的意思。1202年Fibonacci的算術書裏，介紹這種算法時稱它為elchataym，還是“契丹算法”的意思，又稱它為regula augmenti et decrementi，這就是“盈和不足法則”的意思．由於用盈不足術解題時要通過兩次假設，所以歐洲各國的算術書中後來都稱為“假借法”(regula falsi，reghel der valsches positien，rule of false position)。16，17世紀時候，歐洲人的代數還沒有發展到充分利用符號的階段。中國盈不足術的算法便長期地盛行於歐洲大陸。 ^[2] 

假設試驗與推理論證是人類探索自然、尋求規律的兩種相輔相成的方法。每當實際中提出的新問題使現成的理論無能為力之時，人們便自然地求助於試驗；而在對試驗中出現的新現象無法解釋時，則又轉向理論中尋找出路。數學的理論並不排斥假設試驗的方法，特別是在數學理論處在幼稚時期的古代，試驗的方法相對地更為重要。盈不足術就是古代數學中假設試驗與推理論證兩種方法交互運用的產物。 ^[4] 

在古代，隨着數學應用的日益廣泛和數學問題的愈加複雜，尋求各類應用問題的普遍解法自然便成為古算理論研究的中心課題。盈不足術作為當時在這一方面的重大成就無疑會受到特別的珍視。在論及盈不足術的成就時，通常僅注意到這種方法應用的極端廣泛性，它給出線性問題的精確解和非線性問題的近似解，在古代確實稱得起“萬能”的解題方法。

然而，盈不足術在數學的方法與思想方面給予古算的影響是不可低估的。以特定的數學模式代替各種數量關係的分析，這種思想與方法在我國古代數學中有着非常深遠的影響，“方程”這一數學模型，便是這一思想發展的產物。而從盈不足術開始，由方程術所進一步發展的演算程序化，使我國古代籌算制度達到相當完善的水平。考察“九章"之“方程”，其立意造術與盈不足有許多相似之處，這表明它們有共同之本源。但以方程來解釋盈不足術是不妥當的，因為無任何證據説明方程先於盈不足術而產生。 ^[4] 

你遇到下面這樣的題時，用二元一次方程組的解法非常簡單。

有幾人買雞，每個人拿9個錢，多餘11個錢；每人拿6個錢，不足16個錢。問幾人買雞，雞值多少錢?

設人數為x，雞值為Y。

則y=9x－11 y=6x+16 解方程組得：x=9 y=70

而在2000多年前的《九章算術》中，就有此類應用題，古人稱其為“盈不足”問題。計算這樣的問題，古人創造了獨特新穎的解題法——盈不足術。歷代數學家對“盈不足術”十分重視。甚至有些政治家還用它來考核官吏。

唐宣宗大中年間，楊損在朝作尚書。楊損知識淵博，為政清廉。在選拔官吏時也以公正著稱。一次，有兩位小官吏，需要提拔一個。但比較二人的政績、資歷、職位等都差不多，主考官大傷腦筋，便前來請教楊損。楊損説：“我給他們出道題，看誰算得準、算得快。”

不久兩人來到楊損的書房，楊損的題目是：有人黃昏去散步，無意聽見盜賊在分贓布匹。他們説，如果每人分6匹，會餘下5匹布；如每人分7匹，卻又差了8匹布。問，幾個盜賊多少匹布?

楊損出完題接着説：“你們誰先算出來，誰就會被提拔。”

兩位候選人聽完題，馬上用算籌算起來。結果，那位先交卷的官吏被選中。

同僚知道後，無不稱讚楊損的好主意。那這位候選人，是如何計算的呢？他用的就是“盈不足術”。

從以上我們講的兩個題例可以看出，雙假位法與我國古代的盈不足術是一致的。只不過我國古代時還沒有設x,y的説法，因為當時還沒有西文字母。我國古代創造的解題方法一直延用至今，充分表明了我國勞動人民的聰明才智，在世界科技史上，也留下了光輝的一頁。 ^[1]