皮亞諾算術

皮亞諾算術(PA)的公理:

x（Sx≠0）。 x，y（（Sx=Sy→x=y）。 ，對於在 PA 的語言中的任何公式 。 x（x+0=x）。 x，y（（x+Sy）=s（x+y））。 x（x·0=0）。x，y（x·Sy=xy+x）。

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敍述如下：

Ⅰ 0是自然數；

Ⅱ 每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數（數a的後繼數a' 就是緊接在這個數後面的數（a+1），例如，1’=2，2‘=3等等）；

Ⅲ 如果b、c都是自然數a的後繼數，那麼b = c；

Ⅳ 0不是任何自然數的後繼數；

Ⅴ 任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n' 也真，那麼，命題對所有自然數都真。（還有一種表述形式：設S是自然數的一個子集，且滿足（1）0屬於S。（2）如果n屬於S，那麼n'也屬於S，則S=N，即S是包含全部自然數的集合。）(這條公理也叫歸納公設，保證了數學歸納法的正確性)

注：若0不視作自然數，則公理中的0要換成1。

更正式的定義如下：

一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(X, x,f)：

Ⅰ X是一集合，x 為X中一元素，f是 X 到自身的映射；

Ⅱ x 不在f的值域內；

Ⅲ f 為一單射；

Ⅳ 若A 為X的子集並滿足: x∈ A, 且若a ∈A, 則 f(a) 亦∈A，則A =X. ^[2] 

該公理與由皮阿羅公理引出的關於自然數集合的基本假設:

1° P(自然數集)不是空集；

2° P到P內存在a→a直接後繼元素的一一映射；

3° 後繼元素映射像的集合是P的真子集；

4° 若P任意子集既含有非後繼元素的元素,又有含有子集中每個元素的後繼元素,則此子集與P重合.

這四個假設能用來論證許多平時常見又不知其來源的定理!

例如:其中第四個假設即為應用極其廣泛的歸納法第一原理(數學歸納法)的理論依據. ^[1]