白塞爾公式

白塞爾公式是利用最或然誤差求均方誤差的公式。

從均方誤差的定義可知，均方誤差σ等於各觀測值的真誤差△平方和的算術平均值的平方根。但在實際工作中，真值是往往不知道的，真誤差當然也是不知道的。所以，求均方誤差的實用公式是白塞爾公式，即

，式中σ為均方誤差，y為最或然誤差，n為觀測次數，[ ]為高斯取和符號。

。 ^[1] 

設某量的真值為 x ， n 次等精度觀測值為 l₁,l₂,…,l_n，其相應的真誤差為 ∆_1,∆₂,…,∆_n，則可得：

將等式兩端分別相加併除以n，則

令算術平均值：

並顧及偶然誤差的抵消性，即得：

因此，當觀測次數”趨於無限次時，算術平均值趨近於該量的真值。在實際工作中只能進行有限次觀測，算術平均值並不最接近於真值，但是比每一個觀測值更接近於真值，因此，通常認為有限次觀測值的算術平均值是該量的最可靠值，亦稱最或然值。

算術平均值與觀測值之差，稱為觀測值的改正數，以v表示，即：

將等式的兩端分別相加，得：

顧及

可得

因此，在相同觀測條件下，一組觀測值的改正數之和恆等於零。這個結論常用於檢核計算。 ’

最小二乘法原理是指在解算平差問題時，對一組互相獨立的等精度觀測值所施加之改正數的平方和應為最小，即

換言之，應該在滿足上式的條件下求取最或然值。

由

得

根據最小二乘法原理，應使上式具有極小值，為此取一階導數，並令其等於零，得：

故

因此，在等精度觀測的條件下，取觀測值的算術平均值作為最或然值，並由此得到各個觀測值的改正數是符合最小二乘法原理的。 ^[2]