生鏽圓規

生鏽的圓規

從15世紀到17世紀，許多數學家（包括三次方程求根公式的發現者塔塔里亞與卡丹，四次方程求根公式的發現者費拉里）研究過直尺和開口固定的圓規作正多邊形的方法。直到1673年，丹麥人摩爾證明：用直尺和開口固定的圓規可以完成一切尺規作圖。塔塔里亞（N·Tartaglia，1499～1557，意大利）在已知邊長的情況下用生鏽的圓規作出了正三角形。

1797年意大利數學家馬斯羅尼發現：只用一個圓規就可作出一切尺規作圖（丹麥的摩爾1697年就知道了，但傳播的範圍較窄）

法國數學家彭色列（J·V·Poncelet）在1822年進一步證明：預先在紙上畫一個圓（要有圓心），只用一把直尺就可完成一切尺規作圖。1833年德國數學家斯坦納（Jacob Steiner 1796～1863，生於瑞士，後居德國）的一本書裏給這件事以更漂亮的證明。

只用一把直尺，這個也太高級了！基本上尺規作圖到這地步也就山窮水盡了，所以150年過去了，這一領域基本沒人説話。

意料之外的事發生了，在斯坦納1833年小書之後，沉寂了150年的尺規作圖舞台上演出了精彩的一幕。這一幕的主角是中國人，揭幕人就是著名的美國的幾何學家年逾七旬的老教授佩多（Pedoe）。佩多教授感覺生鏽的圓規應該不會像人們所想得那麼簡單，他精心選擇了兩個問題在加拿大的一個數學雜誌上徵解（我手頭沒有史資，無法查證，但我猜想這個加拿大雜誌很可能就是我們在其他版塊提到的《Crux》）

佩多教授提出的第一個問題（1979年提出）：已知兩點A、B，只用一把生鏽的圓規（只能畫半徑為一的圓），能否作出點C，使得△ABC是正三角形？（由於沒有直尺，A、B兩點間也沒有線段相連）

佩多教授提出的第二個問題（1982年提出）：已知兩點A、B，只用一把生鏽的圓規（只能畫半徑為一的圓），能否作出線段AB的中點M？（由於沒有直尺，A、B兩點間也沒有線段相連）

對於佩多的第一個問題，由於生鏽的圓規只能畫半徑為1的圓，當AB≤2時，佩多和他的學生找出瞭解決辦法，但對於AB＞2時，從問題提出，三年過去了仍然找不出作圖的方法。正當數學家們猜測這也大概是一個“不可能”的作圖問題時，三位中國數學工作者：單墫、張景中、楊路（當時三人都在中國科技大學任教）在1983年用幾種不同的方法加以肯定解決：能作出！

佩多教授得知中國同行解決了他的第一個問題之後，非常高興，在一篇短文中他説這是他最愉快的數學經驗之一。他還説很希望能看到第二個問題的解答，無論是能與否！

關於佩多的第二個問題的解決也是數壇佳話之一：只上過高中的19歲的自學青年侯曉榮花了一年時間研究這個問題，在1985年解決了這個被不少數學家稱為無從下手的難題，他用代數的方法證明：用只可以作半徑為1的圓的生鏽的圓規可以完成一切普通的尺規作圖。侯曉榮的這一結果遠遠超出了佩多教授的期望，使許多數學家感到驚訝。

根據侯曉榮的這一證明，張景中、楊路給出了一個較為簡單的作圖方法。

張景中院士在回憶這段歷史時指出：一個數學難題的解決，並不靠一兩手絕招；巧妙而曲折的步驟的產生，靠的是步步為營的縝密安排，先把難題分解為幾部分，再各個擊破！……，這是一塊硬骨頭，……，確實是經過幾個不眠之夜，頑強探索的結果。完成這麼一個難以下手的作圖設計，眼光既要看到全局，作出戰略階段的劃分，又要細緻地分析每個細節，實現戰術任務。這一仗打下來，在尺規作圖這一古老課題的研究記錄上，寫下了中國人的一頁！