球面三角學

在球殼的表面，最短的距離是大圓上接近直線的弧線，也就是圓弧的圓心與球殼的球心是同一點。例如：地球上的子午線和赤道都是大圓。所謂行星表面的直線，就是球面上兩點之間最近距離的大圓弧線(如果你把自己拘束在球面上的直線上)。(參看：大地測量學)

球面多邊形

在球面上，由大圓的弧所包圍的區域稱為球面多邊形，但要注意，不同於平面上的情形，在球面上’雙角’是可能存在的。(兩個弧夾出兩個角的三角形類似物)(可由剝橘子時剝下來的橘子皮想像)

這些多邊形的邊長(弧長)，可以利用球心角很方便的來測定，將弧的兩端所對應的球心角乘上半徑便是邊長。要注意的是，這些角都必須用徑度量來量度。.

因此，對一個球面三角形而言，是由他的弧長與球心角來具體描述的，只是弧的長度是用徑度量來標示。

值得注意的是，球面三角形的三個內角的和總是大於180°，但在平面上只有180°。超過180°的數值稱為球面剩餘 E：E = α + β + γ - 180°，這些結餘給出了球面三角形的面積。確定這個值，球面剩餘必須以徑度量來測定，表面積A依據球面的半徑和球面剩餘來測量：

A =

這是高斯-邦奈定理，這很明顯的顯示沒有相似的球面三角形(三角形有相同的角，但邊長和麪積不同)。而在特殊的情況下，球的半徑為1，則球面三角形的面積A = E。

要解球面幾何的問題，要點是能剖析出其中的直角三角形(三個角中有一個是90°)，因為這樣就可以利用納皮爾的多邊形求解。

納皮爾的圓周顯示直角三角形的部份關聯性

利用納皮爾多邊形(也稱為納皮爾圓周)的口訣可以很輕易的記住球面直角三角形的所有關聯性： 以他們出現於球面三角形的順序，依照相鄰的邊角關係，依序將三角形的六個角寫在一個圈子內，也就是開始以一個角度開始，然後在它旁邊寫上相鄰的邊的弧角度，繼續再寫下下一個角度，˙˙˙，最後結束成一個圓。然後刪除90°的角角度並且將它相鄰的弧角度替換成他們補角的數值(與原角弧度之和為90°) (也就是將 a 換成 90° − a)。這五個數組成了我們需要的納皮爾多邊形(納皮爾圓周)，從這兒，可以得到每個角度的餘弦值等於：

相鄰兩角度的餘切的乘積相對兩角度的正弦的乘積可以參考半正矢(Haversine formula)，能在球面三角上解析弧長與角度，為航海學提供了穩定的模式。

球面上過球心的平面與球面的交線叫球面上的大圓弧，球面三角形是球面上三個大圓弧所構成的閉合圖形。如圖2所示。這三個大圓弧叫做球面三角形的邊，用小寫字母a、b、c表示，各大圓弧組成的球面角．叫做球面三角形的角．用大寫字母A、B、C表示。

將球面三角形ABC的各頂點與球心O連接，構成球心三面形O一ABC，由於圓的圓心角與所對的弧同度，如圖2所示，則有：a=∠BOC,b=∠AOC,c=∠AOB.又知：A=∠TAT',B=∠EBE',C=∠FCF'.所以，球面三角形的邊與所對應的球心三面角同度，球面三角形的角與球心三面角同度。

例如球面三角形三個角都是

(

弧度)時，每個邊長都是大圓弧的1/4，大圓弧對應的圓心角為

，其1/4則為

。 ^[1] 

球面三角形三內角之和與平面三角形三內角之和的差叫做球面角超

，即：

球面角超

的計算公式：

式中．S為球面三角形的面積；R為球的半徑。

如上例，球面三角形三個角都是

(

弧度)時．其面積為整個球面的1/8，球面積為

．其1/8為

．代入式

可求出該球面三角形的球面角超為

。與用式

計算結果一致。 ^[1] 

球面三角形的基本公式

球面三角形的基本公式(又叫基本定理)有正弦公式、邊的餘弦公式、角的餘弦公式、餘切公式、五元素公式等。除正弦公式外，每一類公式僅舉一例如下。

如圖1所示的球面三角形中，正弦公式有：

邊的餘弦公式有：

角的餘弦公式有：

餘切公式有：

五元素公式有：

解算球面直角三角形公式

球面三角形中只要有一個角等於

，該球面三角形就是球面直角三角形。知道球面三角形中的部分元素求解另一部分元素叫解球面直角三角形。解球面直角三角形的公式很多，僅舉幾例。

已知兩直角邊b、c，求斜邊a：

已知斜邊a和一直角邊b，求直角邊b所對應的角度B：

已知兩鋭角B、C，求B、C所夾的斜邊a：

解算球面斜三角形公式

解算球面斜三角形公式多為半角函數公式。設

，有：

正切定理：

半球面角超的正弦定理：