珠算

珠算之名最早見於漢朝徐嶽撰寫的《數術記遺》。説珠算有1800多年的歷史，應該就是根據這個時間點計算出來的 ^[4]  。不過，那個時候的算盤運算法與今天還是有很大區別的 ^[4]  。宋代《清明上河圖》中，可以清晰看到“趙太承家”藥店櫃枱上放着一把算盤。現代珠算起於元明之間。元朝朱世傑的《算學啓蒙》載有的36句口訣，即與今天的大致相同 ^[4]  。明朝時逐步傳入日本、朝鮮、泰國等地。元代劉因（1248～1293）《靜修先生文集》中有題為《算盤》的五言絕句。元代畫家王振鵬《乾坤一擔圖》（1310年）中有一算盤圖。元末陶宗儀《南村輟耕錄》（1366年）卷二十九“井珠”條中有“算盤珠”比喻。裏更記載了一段有趣的俗諺：“凡納婢僕，初來時曰擂盤珠，言不撥自動；稍久曰算盤珠，言撥之則動；既久曰佛頂珠，言終日凝然，雖撥亦不動。”把這裏的“婢僕”換成職能部門的某些工作人員，同樣熨帖 ^[4]  。元曲中也提到“算盤”，由這些實例，可知宋代已應用珠算。

明代商業經濟繁榮，在商業發展需要條件下，珠算術普遍得到推廣，逐漸取代了籌算。現存最早載有算盤圖的書是明洪武四年（1371年）新刻的《魁本對相四言雜字》。現存最早的珠算書是閩建（福建建甌縣）徐心魯訂正的《盤珠算法》（1573年）。流行最廣，在歷史上起作用最大的珠算書則是明朝程大位編的《直指算法統宗》。國務院已將“算盤”列入第二批國家級非物質文化遺產目錄。

2013年10月31日聯合國教科文組織公佈了2013年《人類非物質文化遺產代表作》備選名單，中國的珠算位列其中。 ^[5] 

2013年12月2日，聯合國教科文組織保護非物質文化遺產政府間委員會第八次會議在阿塞拜疆首都巴庫開幕。為期6天的會議將審議近30個非遺申報項目，其中包括中國的珠算。 ^[5] 

2013年12月4日，聯合國教科文組織在阿塞拜疆首都巴庫通過，珠算正式成為人類非物質文化遺產。這也是我國第30項被列為非遺的項目。 ^[2] 

我國傳統算盤為上二下五珠，上面一粒表示“5”，下面一粒表示“1”，在用算盤進行計算時採用“五升十進制”，即每一檔“滿5”時便用一粒上珠表示，每一檔滿“10”時便向前一檔“進1”。依此每一檔只要用上一下四珠就夠了，為什麼我國傳統算盤是上二下五珠呢？

原因之一：我國古代計算重量時採用的是“16兩制”即一斤等於十六兩。現代人常説某兩個人半斤八兩，這是指他們彼此一樣，不相上下。但是半斤是半斤，八兩是八兩，怎麼會相等呢？原來，我國古代重量單位制中規定一斤等於十六兩，所以半斤就等於八兩了。上二下五珠，每一檔可計算到“15”，這樣“滿16”就向前一檔進一，所以我國傳統的上二下五珠算盤是為適應十六進制而形成的。

原因之二：古代乘法採用“留頭乘”，上一珠不夠用，必須要上二珠，一些老財會人員受了長期習慣影響，仍喜愛使用上二下五珠算盤，但國內外使用的均是上一下四珠算盤。

珠算四則運算皆用一套口訣指導撥珠完成。加減法，明代稱“上法”和“退法”，其口訣為珠算所特有，最早見於吳敬《九章算法比類大全》（1450）。乘法所用的“九九”口訣，起源甚早，春秋戰國時已在籌算中應用。北宋科學家沈括在其《夢溪筆談》卷十八中介紹“增成法”時説：“唯增成一法稍異，其術都不用乘除，但補虧就盈而已。假如欲九除者增一便是，八除者增二便是，但一位一因之”。“九除者增一”，後來變為“九一下加一”，“八除者增二”後來變為“八一下加二”等口訣。可見“增成法”就是“歸除法”的前身。楊輝在《乘除通變算寶》中，敍述了“九歸”，他在當時流傳的四句“古括”上，添注了新的口訣三十二句，與現今口訣接近。元代朱世傑的《算學啓蒙》（1299，捲上）載有九歸口訣三十六句，和現今通行的口訣大致相同。14世紀中丁巨撰算法八卷（1355），內有“撞歸口訣”。總之，歸除口訣的全部完成在元代。有了四則口訣，珠算的算法就形成了一個體系，長期沿用了下來。中國珠算，從明代以來，極為盛行，先後傳到日本、朝鮮、東南亞各國，後在美洲也漸流行。由於算盤不但是一種極簡便的計算工具，而且具有獨特的教育職能，所以仍盛行不衰。

不進位的加進位的加

直加滿五加進十加破五進十加

加一：一上一，一下五去四，一去九進一

加二：二上二，二下五去三，二去八進一

加三：三上三，三下五去二，三去七進一

加四：四上四，四下五去一，四去六進一

加五：五上五，五去五進一

加六：六上六，六去四進一，六上一去五進一

加七：七上七，七去三進一，七上二去五進一

加八：八上八，八去二進一，八上三去五進一

加九：九上九，九去一進一，九上四去五進一

不退位的減退位的減

直減破五減退位減退十補五的減

減一：一下一，一上四去五，一退一還九

減二：二下二，二上三去五，二退一還八

減三：三下三，三上二去五，三退一還七

減四：四下四，四上一去五，四退一還六

減五：五下五，五退一還五

減六：六下六，六退一還四，六退一還五去一

減七：七下七，七退一還三，七退一還五去二

減八：八下八，八退一還二，八退一還五去三

減九：九下九，九退一還一，九退一還五去四

在春秋戰國時已在籌算中得到應用；

歸除口訣，首見楊輝《乘除通變算寶》（1274）。

朱世傑《算學啓蒙》（1299）所載九歸口訣已與現代基本相同。

有了四則口訣，珠算的算法就形成一個體系，長期沿用下來。

大九九口訣表

一一01一二02一三03一四04一五05一六06一七07一八08一九09

二一02二二04二三06二四08二五10二六12二七14二八16二九18

三一03三二06三三09三四12三五15三六18三七21三八24三九27

四一04四二08四三12四四16四五20四六24四七28四八32四九36

五一05五二10五三15五四20五五25五六30五七35五八40五九45

六一06六二12六三18六四24六五30六六36六七42六八48六九54

七一07七二14七三21七四28七五35七六42七七49七八56七九63

八一08八二16八三24八四32八五40八六48八七56八八64八九72

九一09九二18九三27九四36九五45九六54九七63九八72九九81

珠算除法有歸除法和商除法兩種。

歸除法用口訣進行計算，有九歸口訣，退商口訣和商九口訣。

九歸口訣共61句：

一歸（用1除）：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。

二歸（用2除）：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。

三歸（用3除）：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。

四歸（用4除）：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。

五歸（用5除）：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。

六歸（用6除）：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。

七歸（用7除）：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。

八歸（用8除）：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。

九歸（用9除）：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。

朱世傑《算學啓蒙》（1299）捲上“歸除歌訣”

一歸如一進見一進成十

二一添作五逢二進成十四進二十六進三十八進四十三一三十一三二六十二逢三進成十六進二十九進三十

四一二十二四二添作五四三七十二逢四進成十八進二十

五歸添一倍逢五進成十

六一下加四六二三十二六三添作五六四六十四六五八十二逢六進成十

七一下加三七二下加六七三四十二七四五十五七五七十一七六八十四逢七進成十

八一下加二八二下加四八三下加六八四添作五八五六十二八六七十四八七八十六逢八進成十

九歸隨身下逢九進成十

南宋數學家楊輝在他的《日用算法》（1262年）中編造了斤價求兩價的歌訣。

元朝偉大數學家朱世傑的《算學啓蒙》（1299年）書中，更被推進成下列的十五句：

一求，隔位六二五；（1/16=0.0625）

二求，退位一二五；（2/16=0.125）

三求，一八七五記；（3/16=0.1875）

四求，改曰二十五；（4/16=0.25）

五求，三一二五是；（5/16=0.3125）

六求，兩價三七五；（6/16=0.375）

七求，四三七五置；（7/16=0.4375）

八求，轉身變作五；（8/16=0.5）

九求，五六二五；（9/16=0.5625）

十求，六二五；（10/16=0.625）

11求，六八七五；（11/16=0.6875）

12求，七五；（12/16=0.75）

13求，八一二五；（13/16=0.8125）

14求，八七五；（14/16=0.875）

15求，九三七五；（15/16=0.9375）

注：此歌訣又叫“斤兩歌”，是專為十六兩秤珠算而編制的。因為算盤只便於十進位，而十六兩秤是以16兩進為1斤的，用珠算只得改為十進位才方便。要打算盤，“斤兩歌”是必須爛熟如泥的。1958年開始實施衡器計量改革，六十年代還有部分使用十六兩秤的，到七十年代以後普遍使用十兩秤，此歌訣就用不着了，但作為文化遺產，應當永載史冊。

十六兩秤改為十兩秤時，該歌謠用於口頭換算，民國時期及解放後，還叫“金水流歌”。歌謠去掉中間那個“求”字，更容易背記上口，甚至不識字的人都會背。（引自《曹縣董家祖傳·經典珠算術集萃》第93頁）

“氣煞斤兩歌”，其實是不用斤兩歌的一種珠算方法。當然此法必須用7珠算盤（不適用5珠算盤），因為中檔以上的一個算珠當做5，兩個算珠夠10，再加中檔下邊五個算珠，正好夠15，也就足夠記15兩用的，如果再加1兩，正好可以向前進位，成為1斤。此法根本用不着“斤兩歌”，所以叫“氣煞斤兩歌”。而且使用此法比用斤兩歌快得多，因為打“兩”可以少撥兩三位算珠。

退商口訣共9句：

無除退一下還一，無除退一下還二，無除退一下還三，

無除退一下還四，無除退一下還五，無除退一下還六，

無除退一下還七，無除退一下還八，無除退一下還九，

商九（又叫撞歸，是對除數是九開頭的數，試商的時候用數大了，退商的時候用的）口訣共9句：

見一無除作九一，見二無除作九二，見三無除作九三，見四無除作九四，見五無除作九五，見六無除作九六，

見七無除作九七，見八無除作九八，見九無除作九九.

除數是一位數的除法叫“單歸”；除數是兩位或兩位以上的除法叫“歸除”，除數的首位叫“歸”，以下各位叫“除”。如，除數是534的歸除，叫“五歸三四除”。即用五歸口訣求商後，再用34除。

進一除二四

進二除四八

進三除七二

進四除九六

一作五，下除二

一作六，去四四

一作七，去六八

一作八，去九二

二作九，去一六

見一加三，隔位生四

見二加六，隔位生八

飛歸是專為計算土地面積而編寫的。古人以步丈量土地，秦朝統一每240步為一畝，後改用相當於一步的“竿子”丈量，240平方竿子為一畝。上一世紀中期改為用公尺丈量，666.7平方米為一畝，飛歸隨即成為歷史。用飛歸計算地畝，比用普通歸除法快得多，因此叫“飛歸”。

飛歸法在一些珠算典籍和民間應用中也被稱為“答法”， 答法是從步換算成畝；對應上面的口訣中，“進”在答法裏為“答”。與答法相對應還有“留法”，則從畝換算為步。有一個專門練習答法和留法的口訣，是一二三四五六七八九先留法打兩遍，得七一一一一一一零四六四，在珠算上呈現一個鐘和一個帶手把（七）的鐘繩（六個一），故此得名“老和尚撞金鐘”；之後再打兩遍答法返回（摘自《曹縣董家祖傳·經典珠算術集萃》）

新飛歸

一退一五

二退三

三退四五

四退六

五退七五

六退九

七是一0五

八是一二

九是一三五

“新飛歸”是我在實踐中獨創的。是根據每畝約等於666.7平方米（每公頃等於15畝）歸納推算出來的。普通算法是在計算出平方米以後，再乘以0.015，得用乘法口訣，被乘數的每一位數字都得乘以一和五，很麻煩。新飛歸則完全拋開乘法口訣，直接撥得數，比普通乘法快一倍。有興趣者請試試看。——由玉山松補充。

空檔：某一檔的上、下都離梁的時候，叫做空檔。空檔表示這一檔沒有記數，或者表示0。

空盤：算盤的各檔都是空檔是，表示全盤沒有記數，叫做空盤。

內珠：靠梁記數的算珠，叫做內珠。

外珠：離梁不記數的算珠，叫做外珠。

撥上：是指將下珠撥靠梁。

撥下：是指將上珠撥靠梁。

撥去：是指將上珠或下珠撥離梁。

本檔：是指正要撥珠記數的這一檔。

前檔：是指本檔的前一檔，也叫左一檔（位）。

後檔：是指本檔的後一檔，也叫右一檔（位）。

漂珠：撥珠時用力過輕，不靠梁不着框，浮漂在檔中間的算珠。

帶珠：撥珠時，把本檔或鄰檔不應撥入或撥去的算珠帶入或帶出叫帶珠。

實珠：靠梁表示正數的算珠。

虛珠：也叫負珠，是指算珠撥到既不靠梁又不靠框，表示負數的懸珠。

置數：也叫布數，按照計算的要求，把數字撥入算盤，為計算作準備。

檔位：也叫檔次，是指檔的位次。

錯檔：也叫錯位，是指運算過程中未將算珠撥入應撥的檔位。

隔檔：也叫隔位，是指本數位左右空一檔的第二檔（位）。入隔位乘法中兩數相乘，積的個位打在被乘數的右兩位上；隔位除法中隔位商幾，指的是被除數首位的左兩位。

進位：是指本檔加上一個數後，大於或等於10，須向前位加1，叫做進位。

退位：是指在本檔減去一個數時本檔不夠，許向前面一位減1，叫做退位。

首位：也叫最高位，是指一個多位數的第一個非零數字為首位。如3284中的3，0.0726中的7。

末位：也叫最低位，是指一個多位數的最後一個數字。如3275中的5，一二○中的0，481.29中的9。

次位：實質一個多位數的第二個數字。如3865中的8，0.4178中的1。

實數：古算書中通稱被乘數和被除數為實數，簡稱實。

法數：古算書中通稱乘數和除數為法數，簡稱法。

乘加：是指被乘數每位乘以乘數各位，在算盤上一邊乘一邊加積數。

乘減：也叫減積，是指每位商數同除數相乘，乘積在被除數里減去。

除首：是指除數的最高位數。

積首：是指積數的首位數。

商首：是指商數的首位數。

估商：在除法中，需求得每一個商數，就要用心算，估出被除數是除數的幾倍，這種心算過程叫做估商。

試商：也叫初商，是指在估商時初步求得偏大或偏小的商數，叫做試商。

置商：也叫立商，是指把試商撥入算盤。

調商：置商後，經乘減證明，試商不正確，需要調整初商。

確商：置商後，經乘減證明，試商不大也不小。

除盡：是指被除數除以除數，除到某一位，剛好無餘數，叫做除盡。

除不盡：是指整除出現無窮循環或不循環小數時，不能除盡的除算。如：1÷3=0.333……；1÷7=0.142857142857……。

餘數：不能整除的除法，在商數求到各位或預定的某數位時，被除數中減剩的數叫做餘數。在運算過程中，往往被除數郊區每次商與除數的乘積都有剩餘的數，通常也叫做餘數。

退商：初商過大，把它改小叫“退商”。

補商：初商過小，把它改大叫“補商”。

假商：在除法運算中，為了計算便捷，先確立一個商，再經過調整取得確商。先確立的商，叫做假商。

清盤：撥去各檔靠梁的算珠，使全盤成為空盤，叫做清盤。

全盤練習：算盤所有檔上，或大部分檔上作撥珠練習，以及按基本運算法則進行全面練習，叫做全盤練習。

毛澤東與巧用算盤諺語

1958年4月19日，毛澤東主席在廣州“小島”召見衞生部副部長朱鏈。在談話中，朱鏈説：“在中醫工作方面過去是定盤珠，現在基本不同了，是算盤珠了。”朱鏈的話説得很有趣，毛主席好奇了：“什麼是定盤珠、算盤珠？”朱鏈説：“定盤珠是你撥它也不動，算盤珠是不撥不動，一撥就動。衞生部的工作很繁重，但有些工作顯得很被動。”毛主席笑了，他用右手比劃着算盤的樣子説：“對了，衞生部工作有些被動，他們連除四害也信心不足……算盤珠不撥不動，一撥就動。很好，我們大家都來撥。”

1972年10月14日下午5時30分至9時10分，周總理在人民大會堂西大廳，會見了美籍中國物理學家李政道博士和夫人。在交談中，周總理向李博士問到美國的計算機情況時，李博士首先回答了有關問話，之後又提到：“我們中國的祖先，很早就創造了最好的計算機，就是到現在還在全國通用的算盤。”周總理對李博士的回答，感慨良久，向在座的中央有關同志説出了珠算界奉為經典的名言：“要告訴下邊，不要把算盤丟掉，猴子吃桃子最危險。”他的關於“不要把算盤丟掉”的指示，從此成為激勵和鼓舞中國珠算界積極開拓和發展珠算事業的巨大動力。

1976年11月的一天上午十時左右，陳雲同志來杭州玉泉公園參觀展覽，當他走到玉泉魚池旁的大廳時，看到一位會計正在打算盤算帳，他走過去和藹地要求會計讓他來試試。陳雲同志坐下來，興致勃勃地撥動算珠，的的嗒嗒地打起算盤來，指法嫺熟。新華社記者嶽湖同志抓住機會，拍攝到一張珍貴的照片。他笑盈盈地打算盤的照片，不但生動地表明瞭他對算盤的肯定和珍愛，而且深刻地表明他對發展珠算寄予殷切的期望。1982年1月，全國政協副主席趙樸初同志見此照片，一時詩興大發，揮筆作詩一首：“唯實是求，珠起還落，加減乘除，反覆對比，運籌帷幄，決勝千里，老謀深算，國之所倚。”詩句既是對陳雲同志為國理財業績的讚譽，同時也是對我國珠算工作者的勉勵和鼓舞，尤其是“唯實是求”四字警句，更為一切財務工作者的座右銘。

江澤民關心珠算教育

1992年1月，江澤民同志在江蘇常州視察劉國鈞職教中心時，對該校的珠算教育給予了特別關注。那天，江總書記來到該校第一財會模擬室，當聽到該校8901班40名學生珠算技能全部達到普通一級以上水平，並有一名達能手級時，江澤民同志笑眯眯地問桂永貴老師：“我問你一個問題，大算盤和這種小算盤比，哪一種打得快呢？”桂永貴回答：“小算盤快。”江總書記又問學生，學生也回答：“小算盤快“。江總書記拿過張乃蓉同學的算盤，彎下腰，一邊撥打算盤，一邊提問題：”我們男同志手指粗，不靈活，打這種小算盤能打得快嗎？”男生朱澄宇同學站起來回答：“我是運算自如的。”江總書記又問：“計算加減法是電子計算器快呢還是算盤快？”張乃蓉回答道：“還是算盤快！”江總書記聽了臉上露出滿意的笑容。

在2009年1月，中國珠算申報聯合國“人類非物質文化遺產代表作名錄”。但是當時申遺並未成功，中國珠算協會曾數次修改申報材料，直至2013年12月5日傳來捷報。

中國珠算心算協會副會長蘇金秀在珠算申遺成功後對新華社記者説，隨着計算機技術的發展，珠算的計算功能逐漸被削弱，但是古老的珠算依然有頑強的生命力。2013年12月5日珠算成功申遺，將有助於讓更多的人認識珠算，瞭解珠算，增強民族自豪感，吸引更多的人加入到弘揚與保護珠算文化的行列中來。

早在2008年，經國務院審核批准，珠算被列入第二批中國國家級非物質文化遺產名錄。 ^[6] 

經過五年努力；聯合國教科文組織稱珠算存在1800餘年，為“最古老的計算機”2013年12月4日晚，在通過聯合國教科文組織的審議後，珠算正式被列入人類非物質文化遺產名錄。

此前聯合國教科文組織曾介紹説，珠算是中國古代的重大發明，伴隨中國人經歷了1800多年的漫長歲月。它以簡便的計算工具和獨特的數理內涵，被譽為“世界上最古老的計算機”。

聯合國教科文組織保護非物質文化遺產政府間委員會第八次會議4日在阿塞拜疆巴庫通過決議，正式將中國珠算項目列入教科文組織人類非物質文化遺產名錄。這是我國第30項被列為非遺的項目。而中國是世界上擁有世界非物質文化遺產數量最多的國家。

珠算是以算盤為工具進行數字計算的一種方法，被譽為中國的第五大發明，此前已被列入中國國家級非物質文化遺產名錄。聯合國教科文組織認為，非物質文化遺產給擁有者羣體帶來認同感和歷史感，是確保文化多樣性與人類創造性的關鍵。2003年10月，聯合國教科文組織第32屆大會通過《保護非物質文化遺產公約》，要求保護口頭傳統和表現形式、表演藝術、社會實踐、儀式和節慶活動，有關自然界及宇宙的知識和實踐以及傳統手工藝等。 ^[7] 

優點：“珠心算”能夠改變學習態度，增加孩子的專注力。在學習珠心算時，往往需要獨立專注的思維，這就在無形中培養了孩子的注意力和記憶力。

弊端：“珠心算”與小學數學有衝突，不練習容易導致混淆。小學學習的數學是從低位到高位的運算方式，而珠心算卻恰好與小學教學相反，先計算高位，再算低位，這種相悖的計算方式可能對孩子的學習造成影響。孩子學過珠心算後，只會機械地運用形象思維來運算，養成了相對比較單一、被動的學習方式。