王氏悖論

數學家王浩關於數理邏輯的一個命題被國際上定為“王氏悖論”。

假設：

1、1是一個很小的數

2 、如果 n是一個很小的數，則n+1也是一個很小的數

以上兩條假設在正常的邏輯下都是成立的；但由以上兩條假設能推出所有的數都是很小的數。這就是“王悖論”，破解其實就是兩條：

1、蝴蝶效應，微小的變化累計會引起巨大差異

2、模糊的概念不適用於數學推理，例如悖論中的“很小的數”這一概念。

王浩(1921．5．2l--1995)是美籍華裔數理邏輯學家、計算機科學家和科學家，生於山東省濟南市。1939年進入西南聯大數學系學習，1943年獲學士學位後又入清華大學研究生院哲學部學習，1945年以《論經驗知識的基礎》的論文獲碩士學位。王浩在中學時代就對哲學有興趣，念初中時他在父親的建議下閲讀過恩格斯的著作《反杜林論》和《路德維希·費爾巴哈與德國古典哲學的終結》。念高中時他偶然得到金嶽霖寫的《邏輯》(1935)，其中約80頁介紹羅素(B．Russel)的名著《數學原理》第一卷的內容，他感到這些內容既吸引入又容易懂，因此想："應該首先嚐試學習較容易的數理邏輯，為以後學習辯證法作較好的準備．"大學一年級時，他旁聽了王憲鈎的符號邏輯課，系統地學習了《數學原理》第一卷，並通過閲讀希爾伯特一阿克曼的《數理邏輯基礎》(1938年版)學習德語。以後又閲讀了希爾伯特--貝爾納斯的《數學基礎》(兩卷集，1934年版)的第一卷。1942年他聽了沈有鼎講授維特根斯坦(L.Wittgenstein，1889--1951)的《邏輯哲學論》(Tractatus，1921)課，閲讀了卡納普(R．Carnap)的《語音的邏輯句法》(1934年版)，並開始撰寫關於休漠的歸納問題的論文。王浩在回憶這段緊張而有意義的學習生活時説："1939年到1946年我在昆明，享受到生活貧苦而精神食糧豐盛的樂趣。特別是因為和金[嶽霖]先生及幾位別的先生和同學都有共同的興趣和暗合的視為當然的價值標準，覺得心情愉快，並因而能夠把工作變成了一個最基本的需要，成為以後自己生活上主要的支柱。我的願望是：愈來愈多的中國青年可以有機會享受這樣一種清淡的幸福！"讀書期間(1943--46年)，王浩還兼任過數學教員。 ^[1] 

1946年，王浩前往美國哈佛大學，在那裏見到了當代美國著名哲學家、邏輯學家奎因(W．V．Quine，1908--)，並隨即開始學習他創立的形式公理系統，不久就對該系統作出改進，其部分結果寫成博士論文。根據奎因的建議，論文的題目取為《經典分析的經濟實體論》(AnEconomicOnto1ogyforC1assicalAnalysis)．1947年開始擔任奎因的高等邏輯與語言哲學等課程的助教；1948年獲理學博士，並繼續留在哈佛大學；1948一1951年任初級研究員，195l--1956年任助理哲學教授。1949年奎因暫離哈佛期間，王浩接替他開設高等邏輯課，用一種相當完備的方法介紹哥德爾的不完備定理。

1950--1951年期間，王浩赴瑞士蘇黎世聯邦工學院數學研究所，從事博士後研究。1954年以洛克菲勒基金會研究員的身份去英國。1954--1955年在英國牛津大學主持第二屆約翰·洛克哲學講座。1956年獲牛津大學巴利奧爾學院碩士．1956--1961年任牛津大學數學哲學高級講師。期間曾主持一討論班，討論維持根斯坦的《對數學基礎的看法》。牛津大學哲學家中的領頭人物大多數參加了這個討論班。1961--1967年回到哈佛任數理邏輯與應用數學教授。l967年以後在洛克菲勒大學任數學教授，並主持該校的邏輯研究室。l975--1976年曾到普林斯頓高級研究所訪問和工作。

l953年起，王浩開始計算機理論與機器證明的研究。因為一方面他敏鋭地感覺到被認為過分講究形式的精確，十分繁瑣而無任何實際用處的數理邏輯可以在計算機領域發揮極好的作用；另一方面由於新中國的成立，他想多學點有用的東西以便將來回來報效祖國。為此他曾兼任巴勒斯公司的研究工程師(1953--l954年)、貝爾電話實驗室技術專家(1959--1960年)、IBM研究中心客座科學家(1973--l974年)等一系列職務。

1972年以後，王浩數次回國。1973年他寫了《訪問中國的沉思》，被報紙與雜誌廣泛刊載。1985年兼任北京大學教授；1986年兼任清華大學教授。

王浩曾發表100多篇論文。主要著作有：《數理邏輯概論》(ASurveyofMathematicalLogic，l962)，其中收集了他在l947年至1959年期間寫的關於數學基礎、形式公理系統、計算機理論和數學定理機械化證明的一些研究論文和其它文章。《從數學到哲學》(FromMathematicstoPhlcosophy，1974)，作者試圖用"實事求是論"(Substantialfactualism)的觀點闡述對一系列哲學問題，特別是數學哲學問題的看法，並對當今在西方世界影響甚大的分析哲學進行批判，書中還包括大邏輯學家哥德爾一些未發表的哲學觀點，極有研究價值．《數理邏輯通俗講話》，有中英文兩種版本，這是根據作者在1977年在中國科學院作的6次關於數理邏輯的廣泛而通俗的講演整理而成的．《超越分析哲學--公平對待我們具有的知識》(BeyondAnalyticPhilosophy--DoingJusticetoWhatweKnow，l986)，作者對分析哲學的代表人物羅素、維特根斯坦、卡納普和奎因等人的思想觀點作了詳細介紹，並給予鎮密的分析和有力的批判，主要論據是他們的哲學無法為人類現有的知識，特別是數學知識，提供基礎。由於作者非常熟悉這四人的工作，甚至與其中一些人有直接交往，所以他的批判十分深刻．牛津大學的彼特·斯特蘇森爵士(SirP．Strawson)評論到："哲學家們對於王浩此書的主要的、深厚的興趣在於，它記錄了一位極富才智、卓越和敏鋭的哲學家對所謂'分析'或'英一美'哲學在本世紀經歷的發展過程的看法。""王的書是對現代哲學史和元哲學的豐富、迷人的貢獻。"

王浩是美國藝術與科學學院院士，英國科學院外藉院士和符號邏輯學協會會員．1983年在美國丹佛召開的，由人工智能國際聯合會會議(LnternationalJointConfernceonArtificialinteIIigence)和美國數學會共同主辦的，自動定理證明(AutomatedTheoremProving)特別年會上，王浩被授予首屆"里程碑獎"(MilestonePrize)，以表彰他在數學定理機械證明研究領域中所作的開創性貢獻．提名時列舉的主要貢獻有：強調發展應用邏輯新分支--"推理分析"(inferentialanalysis)，其對於數理邏輯的依賴關係類似於數值分析(numericalanalysis)對於數學分析的依賴關係；堅持謂詞演算和埃爾布朗(Herbrand)與根岑(Gentzen)形式化的基本作用；設計了證明程序，有效地證明了羅素與懷特海(Whitehead)的《數學原理》中帶集式的謂詞演算部分的350多條定理；第一個強調在埃爾布朗序列(Herbrandexpansion)中預先消去無用項的算法的重要性；提出一些深思熟慮的謂詞演算定理，可用作挑戰性問題來幫助判斷新的定理證明程序的效能。

2015年是著名數理邏輯學家、哲學家、人工智能先驅王浩先生（1921～1995）去世二十週年。2005年的夏天，很少買報的我不知為何買了一份《紐約時報》。翻到訃告版時，我被一幅吸着煙斗的中國人頭像所吸引，仔細一看，竟然是王浩先生的照片。我清楚記得當時的感受：除了為這位大師的逝世遺憾之外，還有一種內疚感，為自己未能接受他的邀請去拜訪他而感到內疚。

我是通過在紐約讀書時的老師McNaughton教授與王浩先生認識的。一次上“定理證明”課，McNaughton提起王浩“一擊七蠅”（Sevenfliesinoneblow）的傳奇結果：利用早期的IBM計算機，僅用幾分鐘就自動證明了羅素花十年心血才在其名著《數學原理》中證明的220條命題，以至羅素聞後竟生“早知今日何必當初”的感嘆。課後我問McNaughton，王浩到底是數學家還是哲學家？他沒有回答我的問題，卻告訴我當他還是哈佛大學的學生時，王浩就是哈佛哲學系的教授了。巧的是，McNaughton告訴我，王浩不久就要來學校參加會議，要我陪一下。

記不清是1989年還是1990年的春季，會議的名稱也忘了，但記得是關於社會哲學與現代科技發展的討論會。會議是在我校的工業創新中心大樓的二層演講廳舉辦的，參加的人很少。休會期間，我帶先生看了一下附近的校園，但多數時間是站在報告廳外面的陽台上，一邊看着樓下綠綠的橄欖球場，一邊隨便聊天。當時自己絲毫沒有同大師談話的侷促感，先生更是樸實得有些出人意料。他的穿着完全是一副剛剛從國內來美訪問的學者派頭，不知者根本就無法把他與近50年的西方生活經歷聯繫到一起。

交談中我知道先生是濟南人，在濟南讀的中小學，抗戰時西南聯大畢業。他還告訴我McNaughton是他在哈佛的學生，我忙説，“那您就是我老師的老師”。可惜，我對哲學半點兒也不懂，同時還奇怪為什麼McNaughton未提起此事。我告訴他我曾讀過庫恩的《科學革命的結構》，結果是這本書打掉了我心裏對純理論研究的神聖感，從而決心從理科的研究轉到工科的研究。我還告訴他我試着讀過他的PopularLecturesonMathematicalLogic，但讀不下去。對此他説了許多，大意是庫恩不是哲學家，用的也不是哲學思維，更接近科學史家的思想，所以哲學家才喜歡，因為對他們來説那是“新”思想。至於他的書看不懂，是對的，因為那是在一般介紹性的講座稿基礎上完成的，不應作為研究性著作去讀。

但那天給我印象最深的，是我們分手前的一幕。這一幕，在我心裏產生了一種説不清的“恐慌”或“陰影”，使我此後很長一段時間裏不再去讀哲學書籍，也是後來去紐約市時沒有按約拜訪先生的一個原因。此事起因是談話中我突然提及當時G?觟del,Escher,Bach一書在我們學生中十分熱門，沒有想到一提哥德爾，先生就再也沒有停下來。他告訴我他已寫完了一本關於哥德爾的書，正在寫第二本，希望早日完成。當時先生談了許多他們之間通信之事，但漸漸地談話成了他自己的自白，最後乾脆成了他背朝着我的自言自語。我一時不知所措，只好站在一旁不動。幾分鐘後，McNaughton來找我們，才打破僵局，一切又都正常如初。分手前，先生給了我他的電話號碼，約我去看他。

我至今也不明白為什麼會發生那樣的一幕。當時只覺得做一個大哲學家太奇怪甚至太“可怕”了。我曾把當時情形向自己在物理系的幾個好朋友説起，並“警告”他們：如果還想正常生活的話，將來千萬別去研究哲學。回憶起來，或許是先生太致力於哥德爾一書的寫作和研究了。先生對哥德爾可謂用心極深，而且於1987年帶頭組織創立了“哥德爾學會”，並任首任會長。

從與先生的相見到得知其逝世的消息，好像都是冥冥之中的巧合。內心裏我十分敬重先生的成就，認為他是華人在數理邏輯和人工智能方面成就最大的人，也是上世紀全世界範圍內最傑出的學者之一。1983年，國際人工智能聯合會與美國數學會共同將首屆“里程碑獎”（MilestoneAward）授予先生，可謂名至所歸。希望今後還有更多王浩式的真正學者挺立於世界科學之林。更希望國人能記住王浩先生對自己民族的熱愛。共和國成立之初，身在劍橋教書的先生就公開發表演説表示對新中國的支持，以至後來做不成台灣“中研院”的院士。1972年，先生首次回國時曾受周恩來總理的接見，總理還特別提起此事。回美后，他曾撰寫了許多文章，讚美新中國，併為此受到了許多攻擊。