狀態價格定價法

A是有風險證券，其價格是PA ，一年後其價格要麼上升到uPA ，要麼下降到dPA 。 這就是市場的兩種狀態：上升狀態（概率是q）和下降狀態（概率是1-q）。

基本證券1在證券市場上升時價值為1，下跌時價值為0；基本證券2恰好相反，在市場上升時價值為0，在下跌時價值為1。基本證券1市場價格是πu ，基本證券2的價格是πd 。

購買uPA 份基本證券1和dPA 份基本證券2組成一個假想的證券組合。該組合在T時刻無論發生什麼情況，都能夠產生和證券A一樣的現金流

PA = πuuPA + πddPA 或1 = πuu + πdd

由單位基本證券組成的組合在T時刻無論出現什麼狀態，其回報都是1元。這是無風險的投資組合，其收益率應該是無風險收益率r

πu + πd = e − r(T − t)

只要有具備上述性質的一對基本證券存在，我們就能夠通過複製技術，為金融市場上的任何有價證券定價。

關於有價證券的價格上升的概率p，它依賴於人們作出的主觀判斷，但是人們對p認識的分歧不影響為有價證券定價的結論。

無套利分析（包括其應用狀態價格定價技術）的過程與結果同市場參與者的風險偏好無關。

假設某股票符合我們上面提到的兩種市場狀態，即期初價值是S0 ，期末價值是S1 ，這裏S1 只可能取兩個值：一是S1 = Su = uS0 ,u＞1,二是S1 = Sd = dS0 ,d＜1。我們想要確定的是依附於該股票的看漲期權的價值是多少？

我們構造這樣一個投資組合，以便使它與看漲期權的價值特徵完全相同：以無風險利率r借入一部分資金B（相當於做空無風險債券），同時在股票市場上購入N股標的股票。該組合的成本是N S0 − B ，到了期末，該組合的價值V是N S1 − RB ，R是利率因子。對應於S1 的兩種可能，V有兩個取值：如果S1 = Su ,則V=Vu = N Su − RB ，如果S1 = Sd , 則V = Vd = NSd − RB 。

Vu = NSu − er(T − t)B = cu

Vd = NSd − er(T − t)B = cd

N = (cu − cd) / (Su − Sd) = (cu − cd) / [(u − d)S0]

B = (Sdcu − Sucd) / [(Su − Sd)er(T − t)] = (NSd − cd)e − r(T − t) = (dcu − ucd)er(T − t) / (u − d)

由於期初的組合應該等於看漲期權的價值，即有N S0 − B =c0 ,把N和B 代入本式中，得到看漲期權的價值公式

c0 = [pcu + (1 − p)cd]e − r(T − t)

其中p = (er(T − t)S0 − Sd) / (Su − Sd) = (er(T − t) − d) / (u − d) ^[1]