熱彈性力學

簡史熱彈性理論的基礎早在19世紀上半葉就為J.M.C.杜哈梅和F.E.諾伊曼所奠定。杜哈梅於1838年建立了熱彈性理論的基礎，得到一組方程，並用它求解軸對稱温度分佈的圓柱體和中心對稱温度分佈的球體的熱應力問題。諾伊曼由某些假設出發，在1841年也得到同樣的方程。20世紀以來,由於工業的發展,熱應力的重要性逐漸被人們認識，因此出現不少有關熱應力的文章。然而對這門科學深入而廣泛的研究還是在第二次世界大戰以後。在高速飛機、火箭、導彈、熱核反應堆等尖端技術領域中，熱應力的問題顯得特別突出。當時有許多科學工作者從事這方面的研究，從而推動了熱彈性力學的發展。

近年來，人們對耦合問題和熱彈性波的傳播問題頗感興趣。對各向異性體、複合材料、斷裂等方面的熱應力問題的研究也取得了較大進展。另外，對非線性熱彈性理論、電磁熱彈性理論、壓電晶體的熱彈性問題的研究也都在發展。

它主要研究物體因受熱造成的非均勻温度場在彈性範圍內產生的應力和變形的問題。熱彈性力學是彈性力學的推廣，它在彈性力學問題的基礎上考慮温度的影響，在應力－應變關係中增加一項由於温度變化引起的應變。在建立熱彈性理論的過程中，需要用到熱傳導方程和熱力學第一、第二定律。

物體受熱時，物體的各部分將因温度升高而向外膨脹。若物體每一部分都能自由膨脹，雖有應變也不出現應力。若物體每一部分不能自由膨脹（物體受熱均勻但受某種約束或物體受熱不均勻而物體是連續體），各部分之間會因相互制約而產生應力。這種應力稱為温度應力或熱應力。另外，材料的彈性模量（見材料的力學性能）會隨温度的升高而下降。

根據温度和應力同時間的關係，可分為定常熱應力問題和非定常熱應力問題；而根據温度同變形之間的關係，可分為耦合熱彈性問題和非耦合熱彈性問題。

定常熱應力是由定常温度場引起的熱應力。“定常”指温度和應力與時間無關。當瞬態温度變化趨於零，温度分佈達到穩定狀態時，由熱傳導方程和温度邊界條件，可求出温度分佈；再由包含温度項的彈性方程，可求出位移和應力。目前，對定常熱應力問題的研究主要集中在以下幾個方面：①二維熱應力問題，即平面應力和平面應變問題，例如厚壁圓管、圓柱、圓板、環形板、半平面中的熱應力問題。②軸對稱温度場中旋轉體、無限體或半無限體的熱應力問題，例如，在無限體內或半無限體的表面上一個點熱源或一個熱偶極子在體內引起的熱應力問題。③板殼的熱彎曲和熱皺損，它與常温下板殼的彎曲和皺損問題相近，所不同的只是把温度項化為相當的外載荷項。④無限板、無限體或半無限體中有內含物的熱應力問題。

非定常熱應力是由非定常温度場引起的熱應力。“非定常”指温度或應力隨時間而變化。在原則上非定常熱應力問題不再是靜力問題，而是動力問題。但在一般情況下温度變化緩慢，可以忽略加速度的影響，把運動看成是一連串的平衡狀態，並在每一時刻按照當時的温度分佈計算出當時的熱應力。這種處理方法叫作非定常熱應力的準靜態處理。非定常熱應力問題和定常熱應力問題的區別只在於熱傳導方程的求解。按照準靜態處理的問題較多，例如，圓柱體、球體的非定常熱應力問題，温度場作週期變化的準定常熱應力問題，由移動熱源引起的準定常熱應力問題等。動態熱應力問題要考慮加速度的影響，這方面的問題有：①熱衝擊問題，即物體突然受熱而產生的熱應力問題；②瞬時熱源問題，對這種問題一般不作準靜態處理，而須考慮慣性項的影響；③熱彈性振動問題，例如，細杆或薄板由於表面突然受熱而引起的振動問題；④熱彈性波的傳播問題。

耦合熱彈性問題是熱彈性力學中最一般的問題。它考慮温度同變形的相互作用，即不但温度會產生變形，而且變形也要產生或消耗能量，從而影響温度。這樣，在熱傳導方程中有一個包含應變的附加項，稱為温度場和應變場的耦合項。熱傳導方程和熱彈性方程不再是獨立的，必須聯立才能求解温度、位移和應力。但求解耦合熱彈性問題比較困難。與此相應的理論稱為耦合熱彈性理論。

在實際應用中，耦合項往往可以被忽略，於是熱傳導方程變成普通的熱傳導方程。這樣，便可先由熱傳導方程求出温度分佈，再由熱彈性方程求解位移和應力。與此對應的熱彈性理論稱為非耦合熱彈性理論。

對於某些問題，需要考慮耦合項的作用。例如，在波的傳播中，由於熱能的耗散，熱彈性耦合對於波的阻尼起比較重要的作用。在應力或應變不連續的問題以及熱衝擊問題中也要考慮耦合項的影響。

線性熱彈性理論是一個比較成熟的理論，該理論假設，物體在平衡狀態上受到微小的擾動，所有物理量與平衡狀態中相應量的偏差都很小，它們之間的乘積和它們的空間導數的乘積都可以忽略不計。在這些簡化假設下建立的方程都是線性方程。

J.N.古迪爾於1937年提出的熱彈性位勢法是一個被廣泛使用的解析方法。這種解法與温度場是非定常無關，也可應用到動力問題中。格林函數法、積分變換法和二維問題中的彈性力學複變函數方法等也被使用，並取得許多成果。在數值方法中，由於計算機的迅速發展，有限元法已成為解決工程實際問題的一個最有效的工具。