照明問題

照明問題(illumination problem)確定照亮一 個凸體的整個邊界所需要的最少的不同方向的平行 光束數的問題.設K是n維線性空間R"中的一個 凸體，並假定K的邊界非空.邊界上的任一點A被 稱為沿着給定的方向Z從外部照亮是指在凸體內有 一點B，使得向量二話和l平行且同向.設空間R"中 將整個邊界照亮的最少的方向數為。(K).

照明間題的解決與組合幾何中的哈德威哥問題 有關.1957年，哈德威哥(Hadwiger, H.)提出用一 種特殊形式的圖形覆蓋凸體的問題.設K是n維歐 幾里得空間R"中的凸體，並設b(K)是以k (OGk Gl＞為相似係數，與K位似的且足以覆蓋K的立 體的最少個數.1978年，有人證明:對於R"中有界 凸體來説，c(K) -b(K);對於無界凸體有。(K)鎮 b(K)，且存在凸體滿足。(K) Gb(K)，或者。(K)= b(K)=. 關於b(K)，哈德威哥猜測:任何有界的集合K cR”滿足n+1毛b＜K)毛2"，這裏等式(b＜K)=Z" 表明K是平行多面體.在n鎮2時，猜測已得到證 明;對於n妻3僅有部分結果.例如，1984年，拉塞克 (Lassak,M.)證明:對於有界的中心對稱的立體K c R3，猜測成立.對於無界集KcR''，數b(K)或者 等於co或者等於b(K' )，這裏K，是維數較低的有界 凸體.特別地，對KcR3，數b(K)只能取1,2,3,4, co這些值之一. ^[1]