無窮組合論

無窮組合論(infinitary combinatorics)亦稱組合集合論.公理集合論的重要分支之一它主要研究無窮集合的各種組合性質.通常指的組合數學一般研究有窮集合的組合性質，因此可稱為有窮組合論.無窮組合論最初的研究來源於有窮組合論中各種組合性質在無窮集合上的推廣，如基數的運算、枚舉原則、分離性理論、分劃演算以及對無窮樹的研究等.它們可以看做有窮組合論中關於計數、枚舉、組合、分劃、樹等的研究在無窮集合上的自然延伸.隨着公理集合論的發展，特別是可構造性理論、力迫法的產生，無窮組合論也產生了自身特有的問題，如大基數的組合性質、馬丁公理等均是無窮組合論所特有的研究內容.在研究方法上，無窮組合論與有窮組合論有着明顯的差異，無窮組合論通常只把基數、序數以及它們的子集作為最基本的研究對象，而不是把一般的無窮集合作為基本對象.無窮組合論包括下列幾個主要研究分支:

1.基數理論.研究基數的各種運算，共尾數、正規基數、奇異基數的性質、基數的閉無界子集、駐集的性質等，這些理論是無窮組合論研究的基礎.

2.分離性質.除了傳統的分離簇的概念外，在無窮組合論中引人了“幾乎分離簇”的概念，有關這方面的研究成果在無窮組合論、力迫法以及集合論拓撲等領域中都有非常重要的應用.

3.組合原則.無窮組合論中，把某些具有重要意義且與ZF (C)系統相容的組合論命題稱為組合原則(參見“組合原則”).組合原則一方面為解決許多重要的數學問題，如蘇斯林假設、庫雷巴假設以及為拓撲學中的重要問題提供了一種有力工具，另一方面也促進了可構造性理論、大基數理論、力迫法的發展.

4.無窮樹的理論.是組合學中樹的概念被推廣到無窮的情形，由於樹可以看做序數的一種推廣形式，因此，樹已經成為研究序數、基數的一個強有力的工具.另外，著名的蘇斯林問題被表述成樹的形式，更激發了人們對樹的性質的研究.目前關於無窮樹的研究已成為無窮組合論最重要的分支之一，其研究主要集中於對蘇斯林樹、阿龍扎揚樹、庫雷巴樹及它們的推廣形式上.

5.分劃演算.指研究無窮集合的分劃性質.目前的研究，主要集中於對拉姆齊問題的各種推廣形式.許多研究成果在大基數理論、拓撲學等方面有着重要的應用.

6.馬丁公理.馬丁公理(MA)的研究，源出於給連續統假設一個較弱的形式.連續統假設(CH)斷言，在。與2‘之間不存在基數，而馬丁公理斷言，若-I CH成立，則任何小於2‘的無窮基數K具有類似於。的一些性質.以色列學者索洛韋（Solovay , R.M.）與特納鮑姆(Tennenbaum, S.)證明馬丁公理加連續統假設的否定與ZFC系統相容.有些數學家認為馬丁公理比連續統假設更“切合實際”.馬丁公理不僅可以看成是連續統假設的減弱形式，它也常被用來作為證明某些命題相容性的工具，而避免直接用力迫法.馬丁公理有大量重要推論，它們在拓撲學、代數學中有非常廣泛的應用.

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