滯後變量模型

因變量受到自身或另一解釋變量的前幾期值影響的現象稱為滯後效應。

表示前幾期值的變量稱為滯後變量。

如：消費函數，通常認為，本期的消費除了受本期的收入影響之外，還受前1期，或前2期收入的影響： Ct = β0 + β1Yt + β2Yt − 1 + β3Yt − 2 + βt Yt − 1，Yt − 2為滯後變量。

產生滯後效應的原因 ：

1、心理因素：人們的心理定勢，行為方式滯後於經濟形勢的變化，如中彩票的人不可能很快改變其生活方式。

2、技術原因：如當年的產出在某種程度上依賴於過去若干期內投資形成的固定資產。

3、制度原因：如定期存款到期才能提取，造成了它對社會購買力的影響具有滯後性。

以滯後變量作為解釋變量，就得到滯後變量模型。它的一般形式為：Yt = β0 + β1Yt − 1 + β2Yt − 2 + ... + βqYt − q + α0Xt + α1Xt − 1 + ... + αsXt − s + μt q（注意公式中上標下標未分），s：滯後時間間隔

自迴歸分佈滯後模型（autoregressive distributed lag model, ADL）：既含有Y對自身滯後變量的迴歸，還包括着X分佈在不同時期的滯後變量

有限自迴歸分佈滯後模型：滯後期長度有限；

無限自迴歸分佈滯後模型：滯後期無限。

分佈滯後模型（distributed-lag model）

分佈滯後模型：<IMG class=tex alt=Y_t=\alpha+\sum_{i=0}^s\beta_iX_{t-i}+\mu_t src="http://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/3/6/0367c7877eb9bd48db07f5ea9d75fc71.png"> 模型中沒有滯後被解釋變量，僅有解釋變量X的當期值及其若干期的滯後值： β0：短期(short-run)或即期乘數(impact multiplier)，表示本期X變化一單位對Y平均值的影響程度。 βi (i=1,2…,s)：動態乘數或延遲係數，表示各滯後期X的變動對Y平均值影響的大小。

<IMG class=tex alt=\sum_{i=0}^s\beta_i src="http://wiki.mbalib.com/w/images/math/5/9/f/59fe37cda9a2a775892ebbeff9379350.png">稱為長期（long-run）或均衡乘數（total distributed-lag multiplier），表示X變動一個單位，由於滯後效應而形成的對Y平均值總影響的大小。

如果各期的X值保持不變，則X與Y間的長期或均衡關係即為

<IMG class=tex alt=E(Y)=\alpha_0+\alpha_1X_t+(\sum_{i=0}^s\beta_i)X src="http://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/7/0/d70a72254bee32c74ca0b45ad78d6a0e.png">

自迴歸模型（autoregressive model）

自迴歸模型：模型中的解釋變量僅包含X的當期值與被解釋變量Y的一個或多個滯後值

<IMG class=tex alt=Y_t=\alpha_0+\alpha_1X_t+\sum_{i=1}^q\beta_iY_{t-i}+\mu_t src="http://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/5/f/65fbaaa44bf9b2dc1628ae442b8f9f35.png">

而

Yt = α0 + α1Xt + α2Yt − 1 + μt

稱為一階自迴歸模型（first-order autoregressive model）。