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算術溢出

算術溢出（arithmetic overflow）是指計算機進行算術運算產生的結果超出機器所能表示的範圍。溢出有上溢和下溢之分，在定點計算機和浮點計算機中，上溢和下溢的概念是不完全相同的。在定點計算機中，從正方向超過了數的表示範圍，稱為上溢；從負方向超過了數的表示範圍，則稱為下溢。在浮點計算機中，浮點數的表示範圍主要由階碼來決定。不論數的符號是正還是負，若階碼從正的方向超出了階碼的表示範圍，稱為上溢；若階碼從負的方向超出階碼的表示範圍，或者尾數為“0”時，統稱為下溢。一般來説，計算機對於浮點數的下溢，則自動當作“0”來處理，不輸出錯誤信息；而產生的上溢，計算機則產生“溢出中斷”，並輸出溢出的錯誤信息，甚至停止程序的運行^[1] 。

中文名: 算術溢出
外文名: arithmetic overflow
別名: 溢出

學科: 計算機
類型: 上溢、下溢
避免方法: 設計、迴避

算術溢出簡介

算術溢出（arithmetic overflow）或簡稱為溢出（overflow）指的是：在計算機領域裏所發生的溢出條件是，運行單項數值計算時，當計算產生出來的結果是非常大的，大於寄存器或存儲器所能存儲或表示的能力限制。在計算機領域裏，運行多項或累計的數值計算時，當計算產生出來的總值是非常大的，大於寄存器或存儲器所能存儲或表示的能力限制。要注意的是，溢出可能會在其他地址被置換。

加法器是中央處理器算術邏輯單元中的核心之一。當長度為n位的兩個二進制數經過加減法器運算，得到的長度為n位的結果不是正確值時，我們説發生溢出。

算術溢出算術下溢

算術下溢也稱為浮點數下溢，是指計算機浮點數計算的結果小於可以表示的最小數。算術下溢在計算結果很接近零出現，使得計算結果的大小小於浮點數可以表示的最小數字。算術下溢也可以視為是浮點數指數在負值時的溢位。例如，浮點數指數範圍為-128至127，一個絕對值小於2−127的浮點數就會造成下溢（假設-128的階碼用於表示負無窮）。界於−fminN and fminN之間的區間稱為下溢間距（underflow gap），其中fminN為一般浮點數格式所能表示的最小正數。

在早期的設計中，界於下溢間距之間的數字其值均視為零，因此若出現算術下溢，其結果會被改為零，可能是用硬件或系統軟件處理，此處理方式稱為“清洗為0”（flush to zero）。

1984年版的IEEE 754導入了次正規數，次正規數和零可以填滿下溢間距。假設浮點數指數範圍為-128至127，最小可表示正規數為2^−127，次正規數則是類似0.9^−127、0.8^−127……之類的數，計算時會將結果轉換為最接近的次正規數，因此可以漸近下溢，不過最接近的次正規數中仍有可能是零。

出現算術下溢時，可能會設定一個狀態位元、產生異常、產生中斷或是這幾項的組合。

IEEE 754中規定只有算術下溢會造成精確度下降時才回報算術下溢，一般是在最後的計算結果不對時才會出現。但若程式要捕捉算術下溢，不論是否有精確度，都會回報算術下溢。IEEE 754處理算術下溢及其他異常的方式相同，都要紀錄算術下溢時的浮點運算器狀態。

算術溢出控制溢出

有幾個控制溢出的方法：

設計：選擇正確的數據類型，尤其要注意數據長度與signed/unsigned數據符號。
迴避：事先注意指令的運作以及檢查運算的數值，或許可以確保計算出來的結果不會超過存儲器存儲數據的限制。
控制：當它被偵測到，還有在其他的程序完成時被檢測出來，那麼溢出是可以被預料的。例如：兩個比特大的兩個數值做加法計算，這種情形最可能發生，步驟如下：先加低比特再加高比特，但是如果它必須完成低比特的運算，就會產生比特加法的運算溢出，那麼就有必要做偵測和增加高比特的總和。通常CPU有支持偵測數值加法大於寄存器大小的作法，基本上這個作法是採用狀態比特的方式。
增值：假如存儲的數值過大就會被分配給其他特定的數值，這時溢出就會發生，然後傳回旗標值時就會產生連續運作的現象。檢查這個問題最有用的方法，就是在整體的計算結尾做一次性的檢查工作，而不是檢查每一個運行步驟。這個作法最常用在浮點硬件調用浮點運算器。
忽略：這是最普遍的作法，但是這個作法會得出不正確的結果，以及降低程序的安全性。

算術溢出檢查溢出

大多數的計算機都可以區別以上兩種溢出條件。當加法或減法的結果發生進位，必須考量到當運算的數值與結果都是unsigned numbers（無號數值，即“正數”）類型時，運算的結果就不適合使用這個數值類型。所以，在運行無號數值（正數）的加法或減法之後檢查進位旗標是非常有用的作法。“溢出”在運算結果為無號數值時容易發生，可以從有符號的運算數值預計出這類的情形（例如：兩個正整數相加產生的結果為一個負數）。所以，在運行2的補數的加法或減法之後檢查溢出旗標是非常有用的作法（換言之，有考慮到有號數值）。

定義A和B都是長度為n位的二進制數