渐屈线

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曲线微分几何中的概念

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同义词渐开线（与曲线所有切线相交成直角的曲线）一般指渐屈线

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渐屈线是曲线微分几何中的概念，它是曲线上密切圆圆心的轨迹。等价的描述是一条曲线的渐屈线即是其法线的包络。

渐屈线与渐伸线是一对相对的概念，若曲线A是曲线B的渐屈线，曲线B即为曲线A的渐伸线。每条曲线的渐屈线唯一确定，但却可以有无穷多条渐伸线。

中文名: 渐屈线
外文名: Evolute

领域: 数学
适用领域: 微分几何
类型: 曲线微分几何中的概念

曲线的微分几何

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公式简介

曲线的微分几何纸协是几何学的一拳探料个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。

从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取立断民另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线洪弃最重要的工具之一为Frenet 标架，地主是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

定义

设

是一个正整数，

是正整数或

，

是实数非空区间，

属于

。一个

类（即

为

次连续可微）向量值函数

称为一条

类参数曲线或曲线

的一个

参数化，

称为曲线

的参数，

称为曲线的像。将曲线

和曲线的像

区别开来非常重要，曲线是一个映射，而像是一个集合。一个给定的像可以描述为许多不同的

曲线。

可以想象参数

代表时间，而曲线

作为空间中一个运动粒子轨迹。

如果I是闭区间 [a,b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而盛颈局γ(b) 为终点。

如果

，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 C-曲线，如果 γ(a) = γ(b) 对所有k≤r。

如果

为单射，我们称为简单曲线。

如果参数曲线

局部可写成幂级数，我们称曲线腿设欢牛解析或是

类。记号 -

表示朝相反的方向运动的曲线。

一条

-曲线

称为

阶正则当且仅当对任何

属于

：

在

中线性无关。

特别地，一条

-曲线

挨嫌乃是正则的如果

对任何

^[1]

法线

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三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

法线的计算

对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程

表示的平面，向量

就是其法线。

如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为

如果曲面S用隐函数表示，点集合

满足

，那么在点

处的曲面法线用梯度表示为

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

法线的唯一性

曲面法线的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三维的边界（topological boundary）内可以分区出inward-pointing normal 与 outer-pointing normal, 有助于定义出法线唯一方法（unique way）。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。^[2]