混料設計

自從Scheffe一九五八年提出單純形格子設計以來，混料迴歸設計的理論和它的應用都有很大發展。人們針對各種數學模型、試驗區域與各種意義下的“最優性”提出了各種設計方法與分析計算法。混料迴歸設計在工業、農業和科學試驗中都得到廣泛的應用。在工業試驗方面，如汽油混合物、混凝土、聚合物塑料、合金、陶瓷、油漆、食品、醫藥、洗滌劑、混紡纖維及燒結礦等產品都會遇到混料迴歸設計問題。

在混料試驗中，每個分量的貢獻都要表示成混料或合成的比例。每個分量的比例必須是非負的，而且它們的總和必須是1，這就決定了混料迴歸設計是一種受特殊約束的迴歸設計問題。用Y表示試驗指標，X1、X2、……、Xn表示混料系統中n種成份各佔的百分比，混料迴歸設計就是要在混料條件

Xi≥ 0 (i=1，2，……，n) X1+X2+……+Xn=1 (1)

或者除混料條件(1)之外，再加上一些其他條件的約束下，合理地安排試驗，得出關於Y的迴歸方程，使得分析容易、準確，便於計算和推測最佳混料比。

混料條件(1)決定了混料迴歸設計中的數學模型，不同於一般迴歸設計中所採用的數學模型，一般迴歸設計中採用的模型是多項式，而混料迴歸設計不能採用一般的多項式，否則會由於混料條件(1)的限制而引起信息矩陣退化。混料迴歸設計中常採用稱為Scheffe多項式的數學模型。例如，一般的三元二次迴歸方程為：

y=b0+ΣbiXi+ΣbiiXi2+ΣbijXiXj (2)

而混料設計中的三分量二次迴歸方程為：

y=ΣbiXi+ΣbijXiXj (3)

它沒有常數項與平方項，只有一次項與交叉項。

混料迴歸設計中一般的三分量二次多項式迴歸方程的形式為(3)。

一般情況，混料迴歸設計的分量多項式迴歸方程常採用下述形式給出：

混料設計的多項式迴歸方程：

二次式 y=ΣbiXi+ΣbijXiXj (4)

不完全三次式 y=ΣbiXi+ΣbijXiXj+ΣbijkXiXjXk (5)

完全三次式 y=ΣbiXi+ΣbijXiXj+ΣrijXiXj(Xi－Xj)+ΣbijkXiXjXk (6)

還有更復雜的高次方程……，稱為Scheffe多項式迴歸方程或規範多項式迴歸方程。

在混料問題中，各分量n的變化範圍要受條件(1)的限制。在幾何上，各分量Xi的變化範圍可由一個(n－1)維正規單純形來表示。頂點代表單一成分組成的混料，稜上點代表兩種成分組成的混料，面上的點代表多於兩種而少於n 種成分組成的混料，而內部的點則是代表全部n種成分組成的混料。當混料的分量Xi除受約束條件(1)限制外還要受其他約束條件限制時，因子空間變得更加複雜，是正規單純形內的一個幾何體。例如兼有上、下界約束的n分量混料問題的因子空間是(n－1)維正規單純形內的一個凸多面體。

平面上的正規單純形是等邊三角形，三維空間的正規單純形是正四面體，當維數高於三時正規單純形不能用圖畫出。下面我們以分量數n=3為例説明為什麼約束條件(1)的點只能取在正規單純形上。取空間直角座標系0－X1 X2 X3分別在三個座標軸上取三點A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，由於約束條件(1)的限制，則各分量Xi只能在△ABC上取值，也就是説,三成分系統的試驗點只能取在二維正規單純形的等邊三角形上。為簡便計，使用時將不再畫出三個座標軸，只畫出一個等邊三角形就可以了，取此等邊三角形的高為1，則此等邊三角形內任一點F到三邊距離之和是1。

這樣，我們可以把FA’長度看成是F 點的Xi座標值，把FB’與FC’的長度分別看成是F的X2值與X3值，在等邊三角形上建立起“二維正規單純形座標系”或“二維重心座標系”。同樣地，我們可以在三維(或多維)空間內取一個高為1的正規單純形，則此正規單純形內任一點到各個面的距離之和是1，我們可以把此點到各個面的距離分別看成是相應的座標，建立起三維(或多維)正規單純形座標系或重心座標系。