混合型偏微分方程

混合型偏微分方程是指在某一部分區域是橢圓型的而在其餘部分是雙曲型的偏微分方程。典型的線性混合型方程是特里科米(F.G.Tricomi)最早系統研究過的方程

(參見“特里科米問題”)和恰普雷根方程(參見“恰普雷根方程”)。可壓縮流體的二維定常無旋運動方程

是擬線性混合型方程，式中φ為速度勢，

為速度分量，c為局部音速，它是速度

的函數。此方程在

(即亞音速)的區域中是橢圓型的，在

(即超音速)的區域中是雙曲型的 ^[1]  。

由於混合型方程與跨音速、超音速流動理論有着直接聯繫而引起了廣泛重視。自1923年意大利科學家特里科米提出並研究所謂的特里科米問題以後，不斷有人對它進行研究。到20世紀50年代末，美國數學家費裏德希斯建立了正對稱方程組理論，在一定意義下統一地處理雙曲型、拋物型、橢圓型及混合型方程的邊值問題。將該理論應用於混合型方程的研究，大大地推進了混合型方程的發展。例如，得到了一些新的適定的邊值問題，新的研究工具能量不等式，強弱解一致性和解的可微性等。

在邊界層理論、無旋薄殼理論、滲流理論、擴散過程理論及其許多物理的和力的問題的研究中，常常遇到這樣的一類方程（組），它們在域的某些點集（包括邊界點）上發生型的蜕化，但在區域上並不同時出現有橢圓型和雙曲面型。這類方程（組）被稱為退化方程（組）。同樣的，退化方程（組）也分為退化拋物型、退化橢圓型及退化雙曲型方程（組）等。混合型方程的研究進一步促進可退化方程（組）的發展 ^[2]  。

混合型方程的研究歷史比較短。1923 年，意大利F.C.特里科米最先研究了方程

(後稱為特里科米方程)，它在

半平面是橢圓型的，在

半平面是雙曲型的，直線

是它的蜕型線。對此方程特里科米提出了一種新的邊值問題( 後稱為特里科米問題):設區域

的邊界由

所組成，其中

為以x軸上二點A 與B 為端點而在上半平面上的若爾當光滑曲線，

是在下半平面上經過A、B這二點的方程的兩條特徵線，並相交於C點。邊界條件只給在

和

上:

在

上，

在

上。該方程在

上的正則解，即解在閉域上連續，它的一階微商除A 與B點外連續,而在這兩點上微商趨於無窮的階數小於1,二階微商除x軸上的點外在

內連續。且假定了曲線

在A與B點附近滿足特殊的要求。特里科米通過解奇異積分方程問題證明了這個問題解的存在性。自特里科米的工作之後，混合型方程，特別由於它與跨音速、超音速流動理論有着直接聯繫而引起了廣泛的重視，從40年代起不斷有人對它進行研究，基本上在個方面開展工作： 1)提出新的邊值問題，並證明解的存在性和惟一性； 2)尋求新的研究工具和途徑，且不斷減弱在證明可解性時所附加在方程係數和邊界曲線上的限制；3)利用混合型方程解決氣體動力學、兒何學和彈塑性力學中的各種問題。

美國數學家K.O.弗里德里希斯在50年代末建立了正對稱方程組的理論，在一定意義下統一地處理雙曲、拋物、橢圓以及混合型方程的邊值問題。將此理論應用於混合型方程的研究，不僅得到了一些適定的新的邊值問題，而且也提供了新的研究工具：能量不等式、強弱解一致性和解的可微性等。同時還促進了多個自變量的和非線性的混合型方程的研究。混合型方程的研究還與彈性薄殼無旋理論、幾何曲面變形理論以及其他物理、力學問題等有着廣泛的聯繫 ^[3]  。

除上述那種方程外，還有一類方程(方程組)，它們是在域的某些點集(包括邊界點) 上發生型的蜕化，但在區域上並不同時出現有橢圓型和雙曲型。這類方程(組)被稱為退化方程(組)。退化方程(組)可分為退化拋物型方程、退化橢圓型方程(二者合在一起還稱為具有非負特徵的方程)、退化雙曲型方程(組)等。退化方程(組)在邊界層理論、無旋薄殼理論、滲流理論、擴散過程理論及其他許多物理和力學問題中遇到。混合型方程的研究更促進了對退化橢圓型方程和退化雙曲型方程的深人研究。這類方程( 方程組)基本上在兩個緊密聯繫的方向上開展研究：1）證明邊值問題的可解性，在此考慮到由於型的蜕化而在問題提法上的改變； 2）研究解的性質，特別是建立類似於非退化方程的解的性質 ^[3]  。