海森堡繪景

海森堡繪景是量子力學的一種表述。這表述的算符（可觀察量和其它算符）相依於時間，而量子態則不相依於時間。海森堡繪景與薛定諤繪景有很明顯的差異。薛定諤繪景表述的算符是常數，而量子態則隨着時間演化。雖然有這些差異，兩種繪景只是不同於依賴時間的基底的改變。兩種繪景的測量統計結果完全相同。這是必然的。因為，它們都是在表達同樣的物理現象。海森堡繪景是矩陣力學在一個任意基底的表述。其哈密頓量不一定是對角的。

在量子力學裏，海森堡繪景表述的量子態

不相依於時間 ^[1]  ，可觀察量

滿足海森堡方程：

；

其中，

是約化普朗克常數，

是哈密頓量，

是

與

的對易算符。在有些方面，我們感覺海森堡繪景會比薛定諤繪景更自然，更具有基礎性。特別是在表述相對論的時候，海森堡繪景顯然的表露出洛倫茲不變性。

更加地，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：將對易算符改為泊松括號，海森堡方程立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程。

史東-馮諾伊曼理論 (Stone-von Neumann theorem) 證明海森堡繪景與薛定諤繪景是等價的。

設定可觀察量

（一個厄米算符）。處於時間

的量子態

，其可觀察量

的期望值是

。

根據薛定諤繪景，

。

那麼，

。

定義相依於時間的算符

，

。

隨時間的導數是

。

所以，

。

應用算符恆等式：

。

對於不相依於時間的

，我們得到

。

由於泊松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程也成立。

很明顯地，由於算符的相依於時間，對易關係在海森堡繪景裏跟在薛定諤繪景裏有很大的差異。例如，思考算符

與

。這些算符隨時間的演化，相依於系統的哈密頓量。一維諧振子的哈密頓量是

。

位置算符和動量算符的演化方程分別為

，

。

再求這兩個方程隨時間的導數，

，

。

設定初始條件為

，

。

二次微分方程的解答分別是：

，

。

稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：

，

，

。

請注意，假若

，我們立刻會得到熟悉的正則對易關係。