流體運動學

在流體力學中描寫運動的方法有兩種，即拉格朗日方法和歐拉方法。拉格朗日方法着眼於流體質點（見連續介質假設），設法描述每個流體質點的位置隨時間變化的規律。通常利用初始時刻流體質點的直角座標或曲線座標a、b、c作為區分不同流體質點的標誌。流體質點運動規律可表示成方程（1）的形式： ^[1] 

其中

是流體質點的矢徑；t為時間；變數a、b、c、t統稱為拉格朗日變數。對時間 t求式（1）的一次偏導數和二次偏導數，可分別得到流體質點的速度矢量相加速度矢量。歐拉方法着眼於空間點，設法在空間的每一點上描述出流體運動隨時間的變化狀況。通常用速度矢量v表示流體運動。於是歐拉方法中流體質點的運動規律可表為下式：

變數

稱為歐拉變數。式（2）確定的速度函數是定義在時間t和空間點上的，所以它是場。由式（2），可按下式求出加速度（見隨體導數）：

雖然拉格朗日方法和歐拉方法都能描述流體的運動，但在流體力學中，人們廣泛採用歐拉方法，較少採用拉格朗日方法，這是因為用歐拉變數得到的是場，可以運用研究得很充分的場論知識；而在拉格朗日方法中，由於式（1）不是場，所以無此優點。其次，在歐拉方法中，由於加速度是一階導數，所以運動方程組是一階偏微分方程組，它比拉格朗日方法中的二階偏微分方程組容易處理。

在拉格朗日方法中，流體質點運動規律的幾何表示是跡線。在歐拉方法中，則利用流線幾何地描述流體的運動。在非定常運動中，流線和跡線一般是不重合的；而在定常運動中，兩者必然重合（見流線）。

流體運動要比剛體運動複雜，因為它除了平動和轉動外，還要發生變形。流體微團運動分析的主要內容包含在亥姆霍茲速度分解定理中。

以運動形式為標準，流體運動可分為無旋運動和有旋運動。若在整個流場中▽×v=0，則稱此運動為無旋運動，反之稱為有旋運動。

以時間為標準，流體運動可分為定常運動和非定常運動。若所有物理量皆不依賴於時間t，則稱此運動為定常運動，反之稱為非定常運動。

以空間為標準，根據有關物理量依賴於一個曲線座標、二個曲線座標和三個曲線座標，流體運動可分為一維

運動、二維運動和三維運動。平面運動和軸對稱運動是二維運動的兩個重要例子。在直角座標系Oxyz中，滿

足

，

的流動稱為平面運動，其中w是速度矢量在z軸的分量。在柱座標系（r，φ，z）中滿足

，或球座標系（r，φ，θ）中滿足的流動稱為軸對稱運動，其中v_φ是速度矢量在φ軸的分量。

渦管的運動學性質為：渦通量在渦管所有橫截面上都等於同一常數，稱之為渦管的強度。渦管不能在流體內產生或終止，如果它不以渦環的形式存在，就只能延伸到邊界上。

區域中有渦和源的分佈，就會誘導出速度場。知道渦旋場和散度場求速度場的問題歸結為解方程（3）：

▽·v=Θ，▽×v=Ω， （3）

式中Θ和Ω是區域內給定的源和渦的強度分佈函數。其解為：

，

式中

;

ξ、η、ζ是變動點座標。

連續性方程是質量守恆定律的數學表達式，它的一般形式為（見流體力學基本方程組）：

或

對於定常運動和不可壓縮流體，連續性方程可簡化為：

式中v=0和v=1分別對應不可壓縮流體和定常運動。對於平面和軸對稱運動，由連續性方程推出，存在着流函數Ψ，使

， (平面運動)

(軸對稱運動)

式中u、v，v_x、v_r分別是速度矢量在直角座標（x，y，z）和柱座標（r，φ，z）中的分量。

根據運動的無旋性▽×v=0推出存在着速度勢Φ，使v=▽Φ。在不可壓縮流體情形，速度勢滿足拉普拉斯方程（見拉普拉斯無旋運動，速度勢）。