流函數

流函數是流體力學中同連續性方程相聯繫的一個標量函數，它在流體平面運動和軸對稱運動中有重要應用。不可壓縮流體和定常可壓縮流體的連續性方程可寫成(1)式 。式中 v 為速度矢量；ρ為流體密度；ν=0和ν=1分別對應於不可壓縮流體和定常可壓縮流體情形。由方程（1）容易看到存在着矢勢B，使（2）成立：

式中B稱為廣義流函數。在平面運動和軸對稱運動這兩種特殊情形下，B只有一個非零分量，如果引進流函數將來以一個函數代替兩個速度分量函數的好處。在平面運動情形下連續性方程在直角座標系中可以寫成如下的形式：

式中u、v為速度矢量在x、y軸方向上的分量。由此推出存在流函數Ψ，使得：

顯然，此時有B=（0，0，Ψ），Ψ稱為平面運動的流函數。在軸對稱運動中，取柱座標系（r，φ，z）和球座標系（r，φ，θ），連續性方程可分別寫為：

式中v_r、v_z和v_r、v_θ分別為速度矢量在柱座標r、z軸上和球座標系r、θ軸上的分量。由式（3）推出存在着流函數Ψ，使得：容易驗證，此時矢勢具有下列形式：

Ψ稱為軸對稱運動的流函數，也稱為斯托克斯流函數。對於不可壓縮流體，流函數具有下列四個性質：

①Ψ可加上任一常數而不影響對流體的運動的描述。

②Ψ為常數的曲面是流面。

③在Oxy平面上或θ=π/2的平面上取一曲線弧AB，則通過以AB為底、高為單位的曲面（平面情形）或通過以AB為母線的旋轉曲面（軸對稱情形）的流量Q與流函數在A、B兩點上的值Ψ_A和Ψ_B之間存在如下關係：

Q=（2π）（Ψ_B－Ψ_A），

式中v=0和v=1分別對應於平面和軸對稱情形。

④在單聯通區域內若不存在源、匯（見源流、匯流），則流函數Ψ是單值函數。若單聯通區域內有源，匯或在多聯通區域內，則Ψ一般是多值函數。

如果不可壓縮流體的運動是無旋的，則▽×v=0。在直角座標系中無旋條件給出

,由此推出，流函數Ψ滿足拉普拉斯方程△Ψ=0，因而是調和函數。在柱座標系和球座標系中，無旋條件要求：

於是Ψ滿足下列方程：DΨ=0，式中D為廣義斯托克斯算符，它在柱座標系和球座標系中的表達式分別為：

1、對於不可壓縮流的二維流動，無論是有旋流動還是無旋流動，流體有粘性還是沒有粘性，一定存在流函數。在三維流動中一般不存在流函數（軸對稱流動除外）。

2、對於不可壓縮流體的平面流動，流函數永遠滿足連續性方程。

3 流函數都有各自的常數值，流函數的等值線就是流線。

4、對於不可壓縮流體的平面勢流，流函數滿足拉普拉斯方程，流函數也是調和函數。

5、平面流動中，通過兩條流線間任意一曲線（單位厚度）的體積流量等於兩條流線的流函數之差，與流線形狀無關。

1.詞條作者：吳望一 《中國大百科全書》74卷（第二版）物理學 詞條：流體力學 ：中國大百科全書出版社 2009-07 ：327-328頁