圓周率

一塊古巴比倫石匾（約產於公元前1900年至公元前1600年）清楚地記載了圓周率=25/8=3.125。 ^[4]  同一時期的古埃及文物，萊因德數學紙草書（Rhind Mathematical Papyrus）也表明圓周率等於分數16/9的平方，約等於3.1605。 ^[4]  埃及人似乎在更早的時候就知道圓周率了。英國作家John Taylor（1781—1864）在其名著《金字塔》（《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》）中指出，造於公元前2500年左右的胡夫金字塔和圓周率有關。例如，金字塔的周長和高度之比等於圓周率的兩倍，正好等於圓的周長和半徑之比。公元前800至600年成文的古印度宗教鉅著《百道梵書》（Satapatha Brahmana）顯示了圓周率等於分數339/108，約等於3.139。 ^[5] 

古希臘作為古代幾何王國對圓周率的貢獻尤為突出。古希臘大數學家阿基米德（公元前287年—公元前212年）開創了人類歷史上通過理論計算圓周率近似值的先河。阿基米德從單位圓出發，先用內接正六邊形求出圓周率的下界為3，再用外接正六邊形並藉助勾股定理求出圓周率的上界小於4。接着，他對內接正六邊形和外接正六邊形的邊數分別加倍，將它們分別變成內接正12邊形和外接正12邊形，再借助勾股定理改進圓周率的下界和上界。他逐步對內接正多邊形和外接正多邊形的邊數加倍，直到內接正96邊形和外接正96邊形為止。最後，他求出圓周率的下界和上界分別為223/71和22/7，並取它們的平均值3.141851為圓周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和兩側數值逼近的概念，稱得上是“計算數學”的鼻祖。

中國古算書《周髀算經》（約公元前2世紀）的中有“徑一而週三”的記載，意即取

。 ^[6]  漢朝時，張衡得出

，即

（約為3.162）。這個值不太準確，但它簡單易理解。 ^[7] 

公元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，他先從圓內接正六邊形，逐次分割一直算到圓內接正192邊形。他説：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”這包含了求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，劉徽在得圓周率=3.14之後，將這個數值和晉武庫中漢王莽時代製造的銅製體積度量衡標準嘉量斛的直徑和容積檢驗，發現3.14這個數值還是偏小。於是繼續割圓到1536邊形，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率

。

公元480年左右，南北朝時期的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後7位的結果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率

和約率

。密率是個很好的分數近似值，要取到

才能得出比

略準確的近似。 ^[8]  （參見丟番圖逼近）

在之後的800年裏祖沖之計算出的π值都是最準確的。其中的密率在西方直到1573年才由德國人奧托（Valentinus Otho）得到，1625年發表於荷蘭工程師安託尼斯（Metius）的著作中，歐洲稱之為Metius' number。

約在公元530年，印度數學大師阿耶波多算出圓周率約為

。婆羅摩笈多採用另一套方法，推論出圓周率等於10的算術平方根。

阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家魯道夫·範·科伊倫（Ludolph van Ceulen）於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力，於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。

這一時期人們開始利用無窮級數或無窮連乘積求π，擺脱可割圓術的繁複計算。無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π值表達式紛紛出現，使得π值計算精度迅速增加。

第一個快速算法由英國數學家梅欽（John Machin）提出，1706年梅欽計算π值突破100位小數大關，他利用瞭如下公式： ^[9] 

其中arctanx可由泰勒級數算出。類似方法稱為“梅欽類公式”。

斯洛文尼亞數學家Jurij Vega於1789年得出π的小數點後首140位，其中只有137位是正確的。這個世界紀錄維持了50年。他利用了梅欽於1706年提出的數式。

到1948年英國的弗格森（D. F. Ferguson）和美國的倫奇共同發表了π的808位小數值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。

電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。1949年，美國製造的世上首部電腦——ENIAC（ElectronicNumerical Integrator And Computer）在阿伯丁試驗場啓用了。次年，裏特韋斯納、馮紐曼和梅卓普利斯利用這部電腦，計算出π的2037個小數位。這部電腦只用了70小時就完成了這項工作，扣除插入打孔卡所花的時間，等於平均兩分鐘算出一位數。五年後，IBM NORC（海軍兵器研究計算機）只用了13分鐘，就算出π的3089個小數位。科技不斷進步，電腦的運算速度也越來越快，在20世紀60年代至70年代，隨着美、英、法的電腦科學家不斷地進行電腦上的競爭，π的值也越來越精確。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以電腦CDC 7600發現了π的第一百萬個小數位。

在1976年，新的突破出現了。薩拉明（Eugene Salamin）發表了一條新的公式，那是一條二次收斂算則，也就是説每經過一次計算，有效數字就會倍增。高斯以前也發現了一條類似的公式，但十分複雜，在那沒有電腦的時代是不可行的。這算法被稱為布倫特-薩拉明（或薩拉明-布倫特）演算法，亦稱高斯-勒讓德演算法。

1989年美國哥倫比亞大學研究人員用克雷－2型（Cray-2）和IBM－3090/VF型巨型電子計算機計算出π值小數點後4.8億位數，後又繼續算到小數點後10.1億位數。2010年1月7日——法國工程師法布里斯·貝拉將圓周率算到小數點後27000億位。2010年8月30日——日本計算機奇才近藤茂利用家用計算機和雲計算相結合，計算出圓周率到小數點後5萬億位。

2011年10月16日，日本長野縣飯田市公司職員近藤茂利用家中電腦將圓周率計算到小數點後10萬億位，刷新了2010年8月由他自己創下的5萬億位吉尼斯世界紀錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計算機，從10月起開始計算，花費約一年時間刷新了紀錄。

2022年3月14日是國際圓周率日。經吉尼斯世界紀錄認證，目前π的最準確值，超過小數點後62,831,853,071,796位。 ^[25] 

2024年3月15日，據美國趣味科學網站報道，在國際圓周率日，總部位於美國加州的計算機存儲公司Solidigm發佈聲明稱，該公司已將圓周率Pi（π）計算到小數點後約105萬億位，打破此前100萬億位的世界紀錄。 ^[28] 

注：上表正確位數是指小數點後的位數。

是第十六個希臘字母的小寫。

這個符號，亦是希臘語περιφρεια（表示周邊、地域、圓周等意思）的首字母。1706年英國數學家威廉·瓊斯（William Jones，1675—1749）最先使用“π”來表示圓周率 ^[13]  。1736年，瑞士大數學家歐拉也開始用

表示圓周率。從此，

便成了圓周率的代名詞。 ^[14] 

要注意不可把

和其大寫Π混用，後者是指連乘的意思。

圓周率（

）一般定義為一個圓形的周長（

）與直徑（

）之比：

，或直接定義為單位圓的周長的一半。由相似圖形的性質可知，對於任何圓形，

的值都是一樣，這樣就定義出常數

。

注意：將

定義為單位圓的周長的一半是有意義的，這是因為從現代數學的角度來看，直徑為d、半徑為r的圓的周長C由以下積分給出：

即

上式中令

，由定積分的換元法可得：

其中

是單位圓周的周長（C的表達式中取r=1即得）。若定義

，則

，與周長公式相符。

而半徑為r的圓的面積S由以下積分給出：

令

，由定積分的換元法可得：

其中

是單位圓的面積（S的表達式中取r=1即得）。利用分部積分法，

於是，

因此，得到關係式：

這樣一來也得到了圓面積公式

第二個做法是，以圓形半徑為邊長作一正方形，然後把圓形面積和此正方形面積的比例定為

，即圓形之面積與半徑平方之比。

定義圓周率不一定要用到幾何概念，比如，定義

為滿足

的最小正實數

。

這裏的正弦函數定義為冪級數

把圓周率的數值算得這麼精確，實際意義並不大。現代科技領域使用的圓周率值，有十幾位已經足夠了。如果以39位精度的圓周率值，來計算可觀測宇宙（observable universe）的大小，誤差還不到一個原子的體積 ^[1]  。以前的人計算圓周率，是要探究圓周率是否循環小數。自從1761年蘭伯特證明了圓周率是無理數，1882年林德曼證明了圓周率是超越數後，圓周率的神秘面紗就被揭開了。

π在許多數學領域都有非常重要的作用。

π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比，是由德國科學家約翰·海因裏希·蘭伯特於1761年證明的 ^[15]  。1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更證明了π是超越數，即π不可能是任何整係數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數，而超越數不是代數數。

Leibniz定理：

wallis公式：

高斯積分：

斯特林公式

歐拉公式：

π的連分數表示：

兩個任意自然數是互質的概率是

。

任取一個任意整數，該整數沒有重複質因子的概率為

。

一個任意整數平均可用

個方法寫成兩個完全數之和。

在平面上畫有一組間距為d的平行線，求一根長度為l（l＜d）的針任意投擲在這個平面上，求此針與平行線中和任一條相交的概率。這就是布豐投針問題。1777年，布豐自己本人證明了這個概率為

。 ^[27] 

正態分佈的概率密度函數：

海森堡不確定性原理：

相對論的場方程：

2011年，國際數學協會正式宣佈，將每年的3月14日設為國際數學節，來源則是中國古代數學家祖沖之的圓周率。 ^[16] 

國際圓周率日可以追溯至1988年3月14日，舊金山科學博物館的物理學家Larry Shaw，他組織博物館的員工和參與者圍繞博物館紀念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圓周運動，並一起吃水果派。之後，舊金山科學博物館繼承了這個傳統，在每年的這一天都舉辦慶祝活動。

2009年，美國眾議院正式通過一項無約束力決議，將每年的3月14日設定為“圓周率日”。決議認為，“鑑於數學和自然科學是教育當中有趣而不可或缺的一部分，而學習有關π的知識是一教孩子幾何、吸引他們學習自然科學和數學的迷人方式……π約等於3.14，因此3月14日是紀念圓周率日最合適的日子。”

歷史上最馬拉松式的人手π值計算，其一是德國的魯道夫·範·科伊倫（Ludolph van Ceulen），他幾乎耗盡了一生的時間，於1609年得到了圓周率的35位精度值，以至於圓周率在德國被稱為Ludolphine number；其二是英國的威廉·山克斯（William Shanks），他耗費了15年的光陰，在1874年算出了圓周率的小數點後707位，並將其刻在了墓碑上作為一生的榮譽。可惜，後人發現，他從第528位開始就算錯了。 ^[17] 

在谷歌公司2005年的一次公開募股中，共集資四十多億美元，A股發行數量是14,159,265股，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關 ^[18]  ）

排版軟件TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.1415926。 ^[19-20] 

每年3月14日為圓周率日。“終極圓周率日”則是1592年3月14日6時54分（因為其英式記法為“3/14/15926.54”）和3141年5月9日2時6分5秒（從前往後，3.14159265）。

7月22日為圓周率近似日（英國式日期記作22/7，看成圓周率的近似分數）。

有數學家認為應把“真正的圓周率”定義為2π，並將其記為τ（英文：tau）。 ^[21] 

2019年3月14日，谷歌宣佈日裔前谷歌工程師愛瑪（Emma HarukaIwao）在谷歌雲平台的幫助下，計算到圓周率小數點後31.4萬億位，準確的説是31415926535897位，比2016年創下的紀錄又增加數萬億位。據瞭解，愛瑪的團隊使用了一個名為ycruncher的程序，能將π計算到小數點後數萬億位。該程序由谷歌雲平台計算引擎上運行的25個虛擬機驅動。而2016年紀錄的創造者皮特（Peter Trueb）是用一台電腦計算出來的。這項計算需要170TB的數據，與整個美國國會圖書館印刷藏品數據量大致相同，愛瑪經過大約4個月的計算才打破了此前的世界紀錄。 ^[3] 

2020年，一個名為北阿拉巴馬慈善計算的非營利組織的創始人蒂莫西·穆利肯使用個人電腦，將數值計算到小數點後50萬億位，耗時303天。 ^[23] 

2021年8月17日，美國趣味科學網站報道，瑞士研究人員使用一台超級計算機，歷時108天，將著名數學常數圓周率π計算到小數點後62.8萬億位，創下該常數迄今最精確值記錄。 ^[22] 

2022年6月，谷歌雲（Google Cloud）在新聞稿中表示，谷歌的雲服務已經打破了其在2019年創造的紀錄，計算出了 100 萬億位圓周率數字，上一次，谷歌雲把圓周率精確到了 31.4 萬億位。 ^[26]