波蘭表示法

波蘭表示法（Polish notation，或波蘭記法），是一種邏輯、算術和代數表示方法，其特點是操作符置於操作數的前面，因此也稱做前綴表示法。如果操作符的元數（arity）是固定的，則語法上不需要括號仍然能被無歧義地解析。波蘭記法是波蘭數學家揚·武卡謝維奇1920年代引入的，用於簡化命題邏輯。

揚·武卡謝維奇本人提到 ^[1]  ：

“

我在1924年突然有了一個無需括號的表達方法，我在文章第一次使用了這種表示法。

”

—— Łukasiewicz(1), p. 610, footnote.

阿隆佐·邱奇在他的經典著作《數理邏輯》中提出該表達方法是一種值得被關注的記法系統，甚至將它與阿弗烈·諾夫·懷海德和伯特蘭·羅素在《數學原理》中的邏輯表達式相提並論。波蘭表示法雖然在邏輯領域沒有被廣泛使用，但仍在計算機科學領域佔有一席之地。

表達“三加四”時，前綴記法寫作“+ 3 4”，而不是“3 + 4”。在複雜的表達式中，操作符仍然在操作數的前面，但操作數可能是包含操作符的平凡表達式。例如，如下的中綴表達式：

(5 − 6) * 7寫作前綴表示法時是：

*(− 5 6) 7或省略括號：

* − 5 6 7由於簡單的算術運算符都是二元的，該前綴表達式無需括號，且表述是無歧義的。在前面的例子裏，中綴形式的括號是必需的，如果將括號移動到：

5 − (6 * 7)即：

5 − 6 * 7則會改變整個表達式的值。而其正確的前綴形式是：

− 5 * 6 7減法運算要等它的兩個操作數（5；6和7的乘積）都完成時才會處理。在任何表示法中，最裏面的表達式最先運算，而在波蘭表達式中，決定“最裏面”的是順序而不是括號。

簡單算術的前綴表達式主要是用於學術研究方面。與逆波蘭表示法不同，前綴表達式基本沒有在商業計算器中使用過，但是其體系經常在編譯器構造的概念教學中首先使用。

LISP的S-表達式中廣泛地使用了前綴記法，S-表達式中使用了括號是因為它的算術操作符有可變的元數（arity）。逆波蘭表示法在許多基於堆棧的程序語言（如PostScript）中使用，以及是一些計算器（特別是惠普）的運算原理。

假定只有二元運算時，操作數的個數必然為操作符的個數加一，否則表達式就無意義。這樣在計算更復雜，更長的表達式時，可以簡單地忽略某些錯誤表達式，因此在使用前綴記法時必須小心仔細檢查其表達意義。

前綴表達式的運算順序很容易檢測。需注意的是，當運算時，操作符是作用在第一個操作數上，特別是需注意不滿足交換律的運算，如除法、減法。

基於堆棧的操作符由於其本身的特性，無需括號也很容易區分運算的順序，因此大量使用波蘭記法。運算波蘭表達式時，無需記住運算的層次，只需要直接尋找第一個運算的操作符。以二元運算為例，從左至右讀入表達式，遇到一個操作 ^[2]  符後跟隨兩個操作數時，則計算之，然後將結果作為操作數替換這個操作符和兩個操作數；重複此步驟，直至所有操作符處理完畢。因為在正確的前綴表達式中，操作數必然比操作符多一個，所以必然能找到一個操作符符合運算條件；而替換時，兩個操作數和一個操作符替換為一個操作數，所以減少了各一個操作符和操作數，仍然可以迭代運算直至計算整個式子。多元運算也類似，遇到足夠的操作數即產生運算，迭代直至完成。迭代結束的條件由表達式的正確性來保證。