波羣

波羣是波的幅度的整體形狀（稱為波的調製或包絡）通過空間傳播的現象。

例如，如果一塊石頭被扔進一個非常靜止的池塘的中間，那麼在水中也會出現一個具有靜止中心的圓形波形，也稱為毛細血管波。 波的擴展環是波羣，其中可以辨別以不同速度行進的不同波長的各個小波。 較短的波浪比整個波羣的速度更快，但是當他們接近前沿時，它們的幅度會減小。 較長的波浪越來越慢，當它們從組的尾隨邊界出現時，它們的振幅減小。 ^[1-2] 

在實際的海洋中，經常可以觀察到這樣一種現象，其主要特徵是在固定地點，有時出現振幅大的波動，有時出現振幅很小的波動，兩者相繼交錯發生。看起來大波是一羣一羣出現的，所以這就產生了波羣。

如果不是在固定點觀測，而是在海面拍一張快照，那麼也會發現，海面上的大波也是成羣出現的。

當許多週期和波長不同但很相近的簡單波動沿着同一方向傳播時，就會形成波羣。

波羣速度v_g由下式定義：

其中ω是波的角頻率（通常以弧度/秒錶示），k是角波數（通常以每米弧度表示）。相位速度為：vp =ω/ k。

給出ω作為k的函數的函數ω（k）被稱為散射關係。

（1）如果ω與k成正比，則波羣速度正好等於相速度。任何形狀的波浪將以這種速度行進而不變形。

（2）如果ω是k的線性函數，但不是直接成比例（ω= ak + b），那麼波羣速度和相位速度是不同的。波包的包絡將以波羣速度行進，而各個峯和谷將以相位速度移動。

（3）如果ω不是k的線性函數，則波包的包絡在其行進時將變形。由於波包包含不同頻率的範圍（因此k的不同值），對於不同的k值，組速度∂ω/∂k將不同。因此，不以單一速度移動，而其波數分量（k）以不同的速度移動，使之變形。如果波包具有窄的頻率範圍，並且ω（k）在該窄範圍內近似線性，則相對於小的非線性，脈衝失真將小。參見下面進一步的討論例如，對於深水重力波，ω=√gk，因此vg = vp / 2。 ^[3] 

波羣速度公式的一個推導如下：

考慮作為位置x和時間t的函數的波包：α（x，t）。

令A（k）在時間t = 0時進行傅立葉變換，

通過疊加原理，任何時間t的波包

其中ω是k的隱函數。

假設波包α幾乎是單色的，使得A（k）在中心波數k0周圍急劇地達到峯值。

然後，線性化給出

，那麼，經過一些代數，

這個表達式有兩個因素。 第一個因素是e的指數，具有波矢k0的完美單色波，峯值和波谷在波包的包絡內以相位速度w0/k0移動。 ^[4] 

以前推導的一部分是泰勒級數近似：

如果波包具有相對較大的頻率擴展，或者如果色散ω（k）具有明顯的變化（例如由於共振），或者如果分組在非常長的距離上行進，則該假設是無效的，並且高階 泰勒擴張中的條款變得重要。

結果，波包的包絡不僅可以通過材料組速度色散描述的方式移動而且變形。 鬆散地説，波包的不同頻率分量以不同的速度行進，較快的分量朝向波包的前部移動，而較慢的向後移動。 最後，波包被拉伸出來。 這是通過光纖傳播信號和在大功率短脈衝激光器的設計中的重要影響。 ^[5] 

對於光，折射率n，真空波長λ0和介質λ中的波長相關

因此，波羣速度可以通過以下任何公式計算，

波羣速度通常被認為是沿着波浪傳遞能量或信息的速度。在大多數情況下，這是準確的，波羣速度可以被認為是波形的信號速度。然而，如果波浪通過吸收或有收益的媒介，這並不總是持續。在這些情況下，波羣速度可能不是明確的數量，也可能不是有意義的數量。

在他的文章“週期性結構中的波浪傳播”中，布里淵説，在消散媒介中，波羣速度不再具有明確的物理意義。關於通過原子氣體傳播電磁波的例子由Loudon給出。另一個例子是太陽光球中的機械波：波浪被阻尼（通過從峯到谷的輻射熱流），並且與之相關，能量速度通常顯着低於波羣速度。

儘管存在這種歧義，但是將波羣速度概念擴展到複雜介質的常見方法是考慮介質內的空間阻尼平面波解，其特徵在於復值波矢。然後，任意地丟棄波矢的虛部，並將波羣速度的通常公式應用於波矢的實部，即，

可以看出，波羣速度的這種泛化繼續與波峯的峯值的表觀速度有關。然而，上述定義不是通用的：或者可以考慮駐波的時間阻尼（實際 k，複合ω），或允許組速度為複數值。不同的考慮產生不同的速度，但是所有定義都符合無損，無媒介的情況。 ^[6]