沃爾什變換

1923年，美國數學系J.L Walsh提出walsh函數。函數展開有三種：Walsh序的Walsh函數，佩利序的Walsh函數，哈達瑪序的Walsh函數。

沃爾什變換主要用於圖像變換，屬於正交變換。這種變換壓縮效率低，所以實際使用並不多。但它快速，因為計算只需加減和偶爾的右移操作。沃爾什變換的定義如下：給定一個NXN像素塊Pxy（N必須是2的冪），二維WHT定義為如圖1：

沃爾什函數Wal(k，t)是美國數學家J．L．沃爾什(J．L．Walsh)1923年提出的，定義在半開區間0≤t<1的一組完備、正交矩形函數，其波形如圖所示。從圖中可見，函數只取+1和-1兩個值。顯然，它的抽樣也只有+1和-1兩個值，與數字邏輯中的兩種狀態相應，特別適合於數字信號處理。沃爾什變換與傅里葉變換相比，由於它只存在實數的加、減法運算而沒有複數的乘法運算，使得計算速度快、存儲空間少，有利於硬件實現，對實時處理和大量數據操作具有特殊吸引力。在通信系統中由於它的正交性和具有取值和算法簡單等優點，便於構成正交的多路複用系統。

沃爾什函數與正弦-弦函數相同，也是一種完備的正交函數系。所謂完備性，就是所有相互正交的函數全部包括在該函數組內，再沒有別的非零函數與它正交。因而，與在一定條件下，函數可以表示為傅里葉級數相似，對任一在0≤t<1單位區間平方可積的週期函數x(t)均可展開為沃爾什級數，且此級數具有收斂性。即，按x(t+1)=x(t)，則對所有t都有如圖2. ^[1] 

式中a₀是直流項，a_k是序號為k的沃爾什波的幅度，其大小由下式確定，即如圖3

由此可見，沃爾什級數可用於信號序列率譜分析，特別是被逼近的波形不光滑而是階梯函數時，效果較傅里葉級數好。為了便於數字處理，對連續沃爾什函數進行等間隔抽樣。設單位時間內取N個樣點，則抽樣間隔△t=1/N，以X(k)代替a_k，故②式改寫成為如圖4

式③即離散沃爾什變換（DWT）的定義式。若已知輸入信號數據x(n)，可求得相應序率譜幅度係數X（k）。同理，已知X（k）可通過逆變換求x(n)，即如圖5

按沃爾什編號的沃爾什函數

沃爾什函數與正弦函數有所不同，在單位區間內由於不一定是週期函數，所以過零點的分佈不一定是等間隔的。如圖6所示。但為了與正弦函數的頻率相對應，因此沃爾什函數定義單位時間內波形過零點數務（或變號數 ）為序率，它的1/2為列率並以S_k表示，即如圖7

圖中8個波形的序率是按自然遞增的順序排列的，所以稱這種排列為按沃爾什編號（或列率排列）的沃爾什函數，以Wal_ω(k，t)表示。下腳註ω表示按沃爾什編號。此外還有佩利（Paley)編號Wal_p(k，t)和哈達理(Hadamard)編號Wal_h(k，t)共三類。這三類編號的沃爾什變換是完全等價的，實際上只是排列次序有所不同而已。由於按哈達瑪編號的沃爾什變換（WHT）其變換矩陣具有簡單的遞推關係，且正、反變換矩陣完全相同，所以獲得廣泛應用。如通信領域中的多路數字通信系統、語音加密、視頻編碼系統、雷達系統、圖像通信系統；在信號處理領域中的信號分析與綜合、功率譜分析、模式識別、圖像處理。特別是在圖像傳輸、存儲系統中，用於圖像壓縮非常有效。

沃爾什變換雖有上述許多優點，但與建立在正、餘弦函數基礎上的傅里葉變換相比，在理論上和實踐上還有許多問題需要研究和進一步解決。如相關與卷積的運算，以及如何從經濟上和技術上解決以矩形波為基礎的設備，來取代現有以正弦波為基礎的大量設備等問題。

若N=2^n，則離散 的沃爾什變換對為圖8

這裏bi(z)為z的二進制數的第i+1位的值（即0或1）。如N=8時的變換核和反變換作用矩陣形式表示為 9。