段學復

段學復，數學家 ^[1]  。1914年7月29日生於陝西華縣。1936年畢業於清華大學。1941年獲加拿大多倫多大學碩士學位。1943年獲美國普林斯頓大學博士學位。1955年被選聘為中國科學院學部委員(院士)。2005年2月6日逝世。 曾任清華大學、北京大學教授。在有限羣的模表示論，特別是指標塊及其在有限單羣和有限線性羣構造研究中的應用方面取得突出成果。在代數李羣方面與國外學者合作完成了早期奠基性工作。在有限P羣方面取得重要的成就。在中國開闢了代數學羣論等研究領域並形成了富有特色的研究羣體。在數學應用於國防科研和國防建設方面做了大量工作。

1914年7月29日，段學復出生在陝西華州（今渭南市華州區）。

1917年，段學復隨父母定居北京。10歲之前，段學復一直在家由父親教語文，從認方塊字起，直到讀一些經史書籍 ^[2]  。

1924年秋，段學復考入北京師範大學附屬小學，讀高小一年級。第二年又跳級考入北京師範大學附屬中學。

1926年暑假後，他因病休學一年。在中學的後五年中，他一直是在成績優異、身體瘦弱的狀態下度過的 ^[3-4]  。

1929年秋，段學復考入了北京師範大學附中的高中理科班 ^[2]  。

1932年，高中畢業後段學復考入了清華大學數學系（當時稱為“算學系”） ^[3]  。

1936年，段學復畢業於清華大學獲得理學士學位，畢業留校任助教 ^[5]  。

1937年7月29日，與母親一起離開北平到西安，住在叔父家中。當年10月他來到由北大、清華和南開大學聯合組成的長沙臨時大學工作 ^[2]  。

1938年，段學復到達昆明，在西南聯大一清華大學任教 ^[2-3]  。

1939年上半年，段學復考取了留英公費生 ^[2]  。

1940年9月，到達加拿大，進入多倫多大學 ^[3]  。

1943年，獲美國普林斯頓大學哲學博士學位 ^{[3]  [5]}  。

1946年5月底，段學復由普林斯頓西行，先後向阿廷、布饒爾等老師辭行，於7月間從舊金山乘船到達上海。10月，任清華大學數學系教授。

1947年，代理清華大學數學系系主任職務 ^{[2]  [5]}  。

1950-1952年，參加了中國科學院數學研究所的籌建工作 ^[2]  。1952年起，在北京大學數學系任教 ^[5]  。1955年，當選為中國科學院院士（學部委員） ^[5]  。

1956年，參加了國家“十二年科學遠景規劃”等全國科學規劃及數學學科規劃的制定和名詞審定工作，參加了教育部和高教部的科研規劃、教學計劃的制定以及教材編審工作 ^[2-3]  。

1959年，夏天做直腸癌切除手術 ^[3]  。

1960-1966年，段學復還兼任北京電視大學數學系主任，兩次參加北京市中學生數學競賽工作，寫文章、作報告，並撰寫了《對稱》一書，為普通教育和成人教育付出了心血 ^[3]  。1981年上半年，段學復主動辭去了北京大學數學系主任的職務 ^[2]  。

1982年，段學復主持中國數學會第一屆全國代數學學術交流會 ^[2]  。

1984年，主持北京國際羣論討論會，並主編了《會議論文集》 ^[2]  。

1988年，參加編寫《高等代數》。

2005年2月6日，逝世。

段學復長期從事代數學的研究。指導學生用表示論和有限單羣分類定理徹底解決了著名的Brauer第39問題、第40問題 ^[6]  。段學覆在代數李羣方面也做了出色的工作。在這方面最早的一篇論文是《關於冪零矩陣的復型的一個註記》。在這篇論文中，段學復對前述謝瓦萊的第一篇文章裏的定理6，給出了一個利用矩陣若爾當（Jordan）標準型的計算的直接而簡單得多的證明，並將其加強且推廣到特徵p≠0的域上 ^[4]  。段學覆在《關於p羣的一個定理》中，利用換位元素的運算法則證明了：若p羣G包含一個最大交換正規子羣A且G/A為循環羣，則A/Z≌K，其中Z是G的中心而K是G的換位子羣。對於G的上、下中心羣列中相應的子羣，他也證明了存在相應的同構。這項工作為一些中外學者所引用。布勞爾與段學復還有一些未發表的關於p羣的工作，手稿保留至今 ^[4]  。

他的最早也是最重要的成就是在有限羣的模表示論，特別是指標塊及其在有限單羣和有限線性羣構造研究中的應用上。有限羣的模表示論研究有限羣在特徵為素數P的域上的表示，當P能夠整除羣的階時，其表示與通常的有限羣在特徵0的域上的表示有很大的不同，理論更加複雜、深刻。這一理論自1935年由布勞爾創立，到40年代已初具規模。就在這時段學復開始了這方面的研究工作。在布勞爾1942年發表的重要論文《論階恰含某素數的一次冪的有限羣》的指引下，他在同一題目的博士論文（普林斯頓大學，1943年）中，在與布勞爾合作並繼續布氏的工作而完成的兩篇論文中取得了一些迄今仍有意義的重要成果 ^[4]  。它們主要是：

（1）得出了其階為pqm的某些單羣的結構，其中p和q是互不相同的素數，b和m為正整數且滿足m≤p－1。

（2）證明了L．E．迪克森（Dickson）在其《線性羣》一書中所列出的單羣表直到10000階都是完全的。

（3）對於pg'階的線性羣，這裏p為素數且（p，g'）=1，當其維數≤（2p十1）/3時，確定了它們的構造。

為了得到這些結果，段學復證明了模表示論的一些基本事實，例如他確定了pg'階羣的p塊的布勞爾樹的重要性質。他證明的三個引理，分別被人們稱為“（布勞爾－段－）斯坦頓（Stanton）原則”、“（布勞爾－段）指標塊分離原則”和“布勞爾－段定理” ^[4]  。

從80年代初起，段學復和王萼芳的學生徐明曜、唐守文等人在上述幾篇論文的思想指引下和發展中進行工作，在p羣的冪結構和換位子結構之間的聯繫上取得了研究成果。唐守文繼續段學復1939年對於具有循環弗拉蒂尼（Frattini）子羣的有限p羣的工作，最終給出了這類p羣的一個完全分類 ^[4]  。

　1：段學復，華羅庚．Some　Anzahl　theorems　for　groups　of　primepower　or－ders．J．Chinese　Math．Soc．，1940，2：313—319． ^[3] 

2：段學復，華羅庚．Deter mination　of　the　groups　of　odd－prime－power　pnwhich　contain　 a　 cyclic　 subgroup　of　indexp2．Sci．Reports　 Nat．Tsing－Hua　University　Ser．A，1940，4：145－151．

3：段學復，布勞爾．Some　remarks　on　sim ple　groups　of　 finite　order（Ab－stract）．Bull．Amer．Math．Soc．1942，48：356．

4：段學復．On　simple　 groups　of　order　Iess　than 10000．1942，unpub lished．（參見R．Brauer，Blocks　 of　 characters　 and　 structure　 of　 finite　groups．Bull．Amer．Math．Soc．New　 Series，1979，1：21—38．）

5：Hsiio Fu Tuan．On　groups　 whose　orders　contain　a　prime　number　to　thefirst　 power．Ann．Math．1944，45（2）：110－140．（Ph．D．Dissertation，Princeton　Univ．，1943）

6：Hsio－Fu　 Tuan．A　note　on　the　replicas　 of　nilpotent　matrices．Bull．Amer．Math．Soc．，1945，51：305－313．

7：段學復，謝瓦萊．On　algebraic　 Lie　algebras．Proc．Nat．Acad．Sci．U．S．A1945，3：195－196．

8：段學復，布勞爾．On　simple　groups　of　finiteorderI．Bull．Amer．Math．Soc．，1945，51：756－766．

9：段學復．An　Anzahl　theorem　of　 Kulakoff’s　 type　 for　 p－groups．S Ci．Rep．Nat．Tsing Hua　Univ．Ser．A，1945，5：182－189．

10：段學復．A　theorem　 about　 p－groups　 With　 abeliansub groups　 of　 inde Xp．AcadSinica Sci．Record，1950，3：27－32．

11：段學復，謝瓦萊．Algebraic　 Liealgebras　 and　 their　invariants．J．ChineseMath．Soc．（New Ser．）or　 Acta　 Math．Sinica，1951，1：215－242．

12：段學復．近代中國數學家在代數方面的貢獻．數學進展，1955，1：609－614．

13：段學復，王萼芳．有限羣模表示論講義．北京大學數學力學系資料，1964－1966．

14：段學復．Works　 on　 finite　 group　 the ory　 by　 some Chinese　mathe maticians．Proc．of　Sympos．in　 Pure　 Math．Vol．37，Amer．Math．Soc．，1980：187—194．

15：段學復．關於有限單羣分類問題解決情況及其影響．中國數學會全國第一屆代數學學術交流會議，1982．

16：段學復，萬哲先，曹錫華等．代數學．上海自然雜誌社科學年鑑，1983，2：711．

17：段學復編．Group　 Theory，Beijing　1984．Lecture　 Notesin　MathematicsVol．1185，Berlin－Heidelberg：Springer－Verlag，1986．

18：段學復．Somere　 Cent　 works　 on　 finite　group　 theory　by　my　col1eagues andgraduate　 students，Lecture　 Notes in　 Mathematics Vol．1185，Berlin Heide　lberg：Springer－Verlag，1986．

19：段學復．Some　 problems　in　 the　 block　 theory　 of　 modularrep　resentations，Proc．of　 a　 Conference　on　 classical　 groups　 and　 related t　opics（beijing，1987）．Comtemp．Math．Vol．82，Amer．Math．Soc．181—190．

20：段學復．“代數學”，“羣”，“布勞爾，R．（D）”，“謝瓦萊，C”（中國大百科全書·數學）．中國大百科全書出版社，1988：111－116；546－550；42；776－777．

21：段學復．對稱（北京數學會數學小叢書之二）．北京：科學出版社，1956．

22：段學復譯．李羣論（蘇聯數學四十年，代數學分冊）．北京：科學出版社，1964：76－93．

23：段學復．悼念鄭之蕃先生．數學進展，1964，7：119．

24：段學復．Memories　of　 Loo－Keng　 Hua．Comtemp．Math．Vol，82，Amer．Math．Soc．，1－5． ^[3] 

1946至1948年的兩學年裏，段學復連續開設了高等代數、高等微積分、近世代數、點集拓撲等課程 ^[2]  。

20世紀50－60年代，段學覆在北京大學組織過兩次有限羣模表示論討論班，指導青年教師和研究生。特別是通過1964年－1966年的討論班培養的研究生洪加威、李慧陵，他們決定了一些特殊類型的單羣 ^[4]  。

自1952年始任北京大學數學系系主任近40年，培養了一大批代數學研究人才 ^{[3]  [5]}  。如學生：許以超、石生明、李慧陵、孟道驥、張繼平。萬哲先、丁石孫、曾肯成、裘光明、王萼芳 ^{[3]  [5]}  。其中突出的學生是博士生張繼平，他用表示論和單羣分類定理徹底解決了維數小於p的複線性羣的結構問題 ^[4]  。

段學復父親段大貞為清光緒十年（1884）甲申進士，曾在北京等地做宮、教書。母親雷詠霓雖然是家庭婦女，但亦知書達理 ^[2]  。

段學復是中國著名數學家、教育家，中國羣表示論的奠基人，中國代數學的重要創始人和開拓者 ^[5]  。（北京大學黨委書記、校務委員會主任朱善璐評）

段先生是一位可以跟他談心裏話的人。段先生在北大主持數學工作的時候正是中國學科建設和發展非常迅速、變動非常大的時期，他在這樣的時期發揮了中流砥柱的作用，他對於北大乃至全國數學界的影響都是巨大的 ^[5]  。（北京大學數學科學學院姜伯駒院士評）

段先生不僅為人和藹，而且非常愛惜人才，並且能很公平、公正地對待周圍的人 ^[5]  。（北京大學數學科學學院張恭慶院士評）

段學覆在中國開闢了代數學羣論等研究領域並形成了富有特色的研究羣體。為數學應用於國防科研和國防建設方面做了大量貢獻工作 ^[1]  。（中國科學院評）

2014年6月28日下午，由北京大學國際數學研究中心和數學科學學院主辦的紀念段學復誕辰100週年座談會在國際數學研究中心報告廳舉行 ^[5]  。