正多邊形

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。

正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

中心到圓內接正多邊形各邊的距離叫做邊心距。

正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，這個圓心角叫做正多邊形的中心角。

把圓分為n(n≥3)等份，依次連接各分點所得的多邊形就是這個圓的內接正n邊形，也就是正n邊形的外接圓。邊長為a的正n多邊形的半徑

。

把圓分為m(m≥3)等份，經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形就是這個圓的外切正m邊形，也就是正m邊形的內切圓。邊長為a的正m邊形的邊心距

。

正n邊形的內角和度數為：（n－2)×180°；

正n邊形的一個內角是

。

所以正n邊形的一個外角為：360°÷n；

所以正n邊形的一個內角也可以用這個公式：180°-360°÷n。

任何一個正多邊形，都可作一個外接圓，多邊形的中心就是所作外接圓的圓心，所以每條邊的中心角，實際上就是這條邊所對的弧的圓心角，因此這個角就是360度÷邊數。

正多邊形中心角

因此可證明，正n邊形中，外角=中心角=360°÷n對角線

在一個正多邊形中，所有的頂點可以與除了他相鄰的兩個頂點的其他頂點連線，就成了頂點數減2（2是那兩個相鄰的點）個三角形。三角形內角和：180度，所以把邊數減2乘上180度，就是這個正多邊形的內角和。

對角線數量的計算公式：n(n-3)÷2。

設正n邊形的外接圓半徑為R，邊長為a，中心角為α，邊心距為r，則α=360°÷n，a=2Rsin(180°÷n)，r=Rcos(180°÷n)，R²=r²+(a÷2)²，周長p=n×a，面積S_n=p×r÷2。

正多邊形的對稱軸——

奇數邊：連接一個頂點和頂點所對的邊的中點的線段所在的直線，即為對稱軸；

偶數邊：連接相對的兩個邊的中點，或者連接相對稱的兩個頂點的線段所在的直線，都是對稱軸。

正N邊形邊數、角數、對稱軸數都為N。

在正多邊形中，只有三種能用來鋪滿一個平面而中間沒有空隙，就是正三角形、正方形、正六邊形。因為正三角形的每一個角等於60度，六個正三角形拼在一起時，在公共頂點上的六個角之和等於360度；正方形的每個角等於90度，所以四個正方形拼在一起時，在公共頂點上四個角的和也剛好等於360度；正六邊形的每個角等於120度，三個正六邊形拼在一起時，在公共頂點上的三個角之和也等於360度。

如果用別的正多邊形，就不能達到這個要求。例如：正五邊形的每隻角等於108度，把三個正五邊形拼在一起，在公共頂點上三個角之和是108度*3=324度，小於360度有空隙。而空隙處又放不下第四個正五邊形，因為108度*4=432度，大於360度。

直尺、圓規和量角器可以畫出任意正多邊形。 但是在古希臘時，作圖只使用沒有刻度的直尺（unmarked ruler）和圓規（compass）。 用尺規作正偶邊形如2n,3×2n,5×2n等正多邊形並非難事。 但對正奇邊形如3,5,7,9,11,13,15等的作圖，在當時是件困難的事，而且並非全都可以作圖成功。 1798年，德國數學家高斯只有19歲，他成功的以圓規直尺做出一個正十七邊形，[1801年數學家高斯證明：如果費馬數k為質數，那麼就可以用直尺和圓規將圓周k等分.但是，高斯本人實際上並不會做正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）]給出.並證明了正多邊形的邊數只有是費馬質數或不同的費馬質數乘積才可以尺規作圖出來，當高斯去世後，人們為了紀念這位偉大的數學家，在他的故鄉(Brunschweig)的紀念碑上刻了一個正17邊形。