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歐拉回路
鎖定
如果圖G中的一個路徑包括每個邊恰好一次,則該路徑稱為歐拉路徑(Euler path)。
具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖(簡稱E圖)。具有歐拉路徑但不具有歐拉回路的圖稱為半歐拉圖。
- 中文名
- 歐拉回路
- 外文名
- Eulerian Path
- 判 斷
- 無向圖存在歐拉回路等
- 解 法
- 無向圖歐拉回路解法等
- 應用領域
- 信息學 圖論
- 發現者
- 歐拉
歐拉回路發現
歐拉回路是數學家歐拉在研究著名的德國哥尼斯堡(Koenigsberg)七橋問題時發現的。如圖1所示,流經哥尼斯堡的普雷格爾河中有兩個島,兩個島與兩岸共4處陸地通過7座楊 彼此相聯。7橋問題就是如何能從任一處陸地出發,經過且經過每個橋一次後回到原出發點。
這個問題可抽象為一個如圖2所示的數學意義上的圖,其中4個結點分別表示與4塊陸土Il 對應,如結點C對應河岸C,結點A對應島A等,而結點之間的邊表示7座橋。
1)歐拉路:通過圖中所有邊的簡單路。
2)歐拉回路:閉合的歐拉路。
歐拉回路判斷
以下判斷基於此圖的基圖連通。
無向圖存在歐拉回路的充要條件
一個無向圖存在歐拉回路,當且僅當該圖所有頂點度數都為偶數,且該圖是連通圖。
有向圖存在歐拉回路的充要條件
一個有向圖存在歐拉回路,所有頂點的入度等於出度且該圖是連通圖。
混合圖存在歐拉回路條件
要判斷一個混合圖G(V,E)(既有有向邊又有無向邊)是歐拉圖,方法如下:
假設有一張圖有向圖G',在不論方向的情況下它與G同構。並且G'包含了G的所有有向邊。那麼如果存在一個圖G'使得G'存在歐拉回路,那麼G就存在歐拉回路。
其思路就將混合圖轉換成有向圖判斷。實現的時候,我們使用網絡流的模型。現任意構造一個G'。用Ii表示第i個點的入度,Oi表示第i個點的出度。如果存在一個點k,|Ok-Ik|mod 2=1,那麼G不存在歐拉回路。接下來則對於所有Ii>Oi的點從源點連到i一條容量為(Ii-Oi)/2的邊,對於所有Ii<Oi的點從i連到匯點一條容量為(Oi-Ii)/2的邊。如果對於節點U和V,無向邊(U,V)∈E,那麼U和V之間互相建立容量為1的邊。如果此網絡的最大流等於∑|Ii-Oi|/2,那麼就存在歐拉回路。
歐拉回路解法
無向圖歐拉回路解法
求歐拉回路的一種解法
下面是無向圖的歐拉回路輸出代碼:注意輸出的前提是已經判斷圖確實是歐拉回路。
C語言代碼,不全,請不要直接粘貼。
int num=0;//標記輸出隊列 int match[MAX];//標誌節點的度,無向圖,不區分入度和出度 void solve(int x) { if (match[x]==0) Record[num++]=x; else { for(int k=0;k<=500;k++) { if(Array[x][k]!=0) { Array[x][k]--; Array[k][x]--; match[x]--; match[k]--; solve(k); } } Record[num++]=x; } }
pascal代碼:
求無向圖的歐拉回路(遞歸實現)
program euler; const maxn=10000;{頂點數上限} maxm=100000;{邊數上限} typetnode=^tr; tr=record f,t:longint;{邊的起始點和終止點} al:boolean;{訪問標記} rev,next:tnode;{反向邊和鄰接表中的下一條邊} end; varn,m,bl:longint;{頂點數,邊數,基圖的極大連通子圖個數} tot:longint; g:array[1..maxn]oftnode; d:array[1..maxn]oflongint;{頂點的度} fa,rank:array[1..maxn]oflongint;{並查集中元素父結點和啓發函數值} list:array[1..maxm]oftnode;{最終找到的歐拉回路} o:boolean;{原圖中是否存在歐拉回路} procedurebuild(ta,tb:longint);{在鄰接表中建立邊(ta,tb)} vart1,t2:tnode; begin t1:=new(tnode); t2:=new(tnode); t1^.f:=ta; t1^.t:=tb; t1^.al:=false; t1^.rev:=t2; t1^.next:=g[ta]; g[ta]:=t1; t2^.f:=tb; t2^.t:=ta; t2^.al:=false; t2^.rev:=t1; t2^.next:=g[tb]; g[tb]:=t2; end; proceduremerge(a,b:longint);{在並查集中將a,b兩元素合併} varoa,ob:longint; begin oa:=a; whilefa[a]<>adoa:=fa[a]; fa[oa]:=a; ob:=b; whilefa[b]<>bdob:=fa[b]; fa[ob]:=b; ifa<>bthenbegin dec(bl);{合併後,基圖的極大連通子圖個數減少1} ifrank[a]=rank[b]theninc(rank[a]); ifrank[a]>rank[b]thenfa[b]:=aelsefa[a]:=b; end; end; procedureinit;{初始化} vari,ta,tb:longint; begin fillchar(fa,sizeof(fa),0); fillchar(rank,sizeof(rank),0); fillchar(d,sizeof(d),0); readln(n,m); fori:=1tondofa[i]:=i; bl:=n; fori:=1tomdobegin readln(ta,tb); build(ta,tb); inc(d[tb]); inc(d[ta]); merge(ta,tb); end; end; proceduresearch(i:longint);{以i為出發點尋找歐拉回路} varte:tnode; begin te:=g[i]; whilete<>nildobegin ifnotte^.althenbegin te^.al:=true; te^.rev^.al:=true; search(te^.t); list[tot]:=te; dec(tot); end; te:=te^.next; end; end; proceduremain;{主過程} vari:longint; begin o:=false; fori:=1tondo ifd[i]=0thendec(bl);{排除孤立點的影響} ifbl<>1thenexit;{原圖不連通,無解} fori:=1tondo ifodd(d[i])thenexit;{存在奇點,無解} o:=true; fori:=1tondo ifd[i]<>0thenbreak; tot:=m; search(i);{從一個非孤立點開始尋找歐拉回路} end; procedureprint;{輸出結果} vari:longint; begin ifnotothenwriteln('Nosolution.')elsebegin writeln(list[1]^.f); fori:=1tomdowriteln(list[i]^.t); end; end; begin init; main; print; end.
注意record中的點的排列是輸出的倒序,因此,如果要輸出歐拉路徑,需要將record倒過來輸出。
求歐拉回路的思路:
循環的找到出發點。從某個節點開始,然後查出一個從這個出發回到這個點的環路徑。這種方法不保證每個邊都被遍歷。如果有某個點的邊沒有被遍歷就讓這個點為起點,這條邊為起始邊,把它和當前的環銜接上。這樣直至所有的邊都被遍歷。這樣,整個圖就被連接到一起了。
具體步驟:
1。如果此時與該點無相連的點,那麼就加入路徑中
2。如果該點有相連的點,那麼就加入隊列之中,遍歷這些點,直到沒有相連的點。
3。處理當前的點,刪除走過的這條邊,並在其相鄰的點上進行同樣的操作,並把刪除的點加入到路徑中去。
4。這個其實是個遞歸過程。