功

功，也叫機械功。如果一個物體受到力的作用，並在力的方向上發生了一段位移，我們就説這個力對物體做了功。 ^[1]  功是物理學中表示力對位移的累積的物理量。與機械能相似的是，功也是標量，國際單位制單位為焦耳。1J=1N·m=1kg·m²·s^-2 “功”一詞最初是由法國數學家賈斯帕-古斯塔夫·科里奧利創造。

在一維運動（即在一條直線上的運動）中，如果物體因為力F從A運動到B，位移了x，物體做了W的功。

定義

物體在力F作用的方向上移動了dx的距離，施力方所消耗的能量。

兩端積分：

，這是功的一般定義。

根據牛頓第二定律：

速度定義式：

（可以理解為在一段時間dt內的位移距離為dx，當dt趨於0時，v是瞬時速度）

加速度定義式：

（可理解為在一段時間dt內的增加速度為dv，當dt趨於0時，a是瞬時加速度）

積分可代換為

。（其中

和

分別是物體在A點和B點的速度）

如果物體做勻速運動（速度可為0），那麼物體總功為零；

如果物體受到的力合力為F，而初運動和末運動的位移方向與F相同，那麼這個物體做正功；

如果物體受到的力合力為F，而初運動和末運動的位移方向與F相反，那麼這個物體做負功；

功是標量，功的正負不代表大小，+3J的功比-5J的功小。

在三維運動（即在一個空間中的運動）中，如果物體因為力F從A運動到B，位移了r，物體做了W的功,

r=ix+jy+kz,F=iF_x+jF_y+kF_z，i,j,k分別是x,y,z的正方向單位向量，定義

為物體從A到B所做的功。

根據牛頓第二定律：

速度定義式：

加速度定義式：

我們把三維運動分解為三個方向的一維運動，就有計算公式：

速度的x，y，z正方向的投影用下標表示。

特別的當所有矢量的z方向為0時，是二維運動的總功，如果y方向也為0時，是一維運動的總功，與之前的定義是不矛盾的。

W=Fscosα (初中階段，力方向與位移方向的夾角為0，即α=0°，cos0°=1，所以W=Fs)

推導：

在二維運動中，

F是恆定力（即始終不改變的力），s是物體位移，從A到B，α是F與x軸夾角，θ是s與x軸夾角，如果我們令θ=0，那麼只需要取s是正方向，垂直於s的是y軸就可以了，那麼第二項就為0，AB=s=x，故

做功的兩個因素：

注：功的公式只能計算一個力或一個合力所做的功，如要算總功，需用速度與質量的公式。

如果一個力作用在物體上，物體在這個力的方向上移動了一段距離，力學裏就説這個力做了功。 即使存在力，也可能沒有做功。例如，在勻速圓周運動中，向心力沒有做功，因為做圓周運動的物體的動能沒有發生變化。同樣的，桌上的一本書，儘管桌對書有支持力，但因沒有位移而沒有做功。

功(15張)

總的來説不做功的情況有三種：不勞無功、有勞無功和垂直無功。（不勞無功：只移動了距離，但在這移動的方向上沒產生力，即0·Fs·cosα=0焦耳；有勞無功：只有力，卻在力的方向上沒有移動一定的距離，F·0·scosα=0焦耳；垂直無功：物體既受到力，又通過一段距離，但兩者方向互相垂直，Fscos90°=Fs·0=0J。） ^[2] 

熱傳導不被認為是做功，因為能量被轉化成了微觀原子的振動而非宏觀的位移。

PS：功的實質就是力的空間累積。

力與物體在力的方向上通過的距離的乘積稱為機械功（mechanical work），簡稱功。

功定義為力與位移的內積。其中，W 表示功，F 表示力，而dx 表示與外力同方向的微小位移；上式應表示成路徑積分，a 是積分路徑的起始點，b 是積分路徑的終點。為了瞭解物體受力作用，經過一段距離後所產生的效應，而定義出功的概念。

功是標量，所以功的正、負不表示方向。功的正負也不表示功的大小。它僅僅表示是動力對物體做功還是阻力對物體做功，或者説是表示力對物體做了功還是物體克服這個力做了功。若要比較做功的多少，則要比較功的絕對值，絕對值大的做功多，絕對值小的做功少。功是能量變化的量度，做功的多少反映了能量變化的多少，功的正負則反映了能量轉化的方向（注意：不是空間的方向）

判斷一個力對物體是否做功，可根據該力和物體位移方向的夾角是否為90°，或力與物體速度方向的夾角是否總是90°來確認力是否對物體做功。夾角大於90°時功為負，夾角小於90°時功為正。

國際單位制中功的單位為焦耳（J）。焦耳被定義為用1牛頓的力對一物體使其發生1米的位移所做的機械功的大小。量綱相同的單位牛·米有時也使用，但是一般牛·米用於力矩，使其跟功和能區別開。

在國際單位中，功的單位是焦耳，簡稱“焦”，符號為J，單位為J 1J=1N·m 由英國物理學家焦耳（James Prescott joule，1818~1889）對科學的貢獻而命名的。

非國際單位制單位包括爾格、英尺·磅、千瓦小時（kW·h）、大氣壓力、馬力小時（HP·h）。而由於具有相同的物理量─熱能，偶爾會見到以熱量熱能形式表示的測量單位，如：卡路里（cal）、BTU等。

大小和方向都不變的力F，作用於沿直線運動的物體上（圖1），力作用點的位移為S，則力F對

該物體所作的功A為，

式中α為F和S的夾角。當α<

時，功為正值：當α>

時，功為負值；當α=

時，即力和位移方向垂直，力在此位移上不作功。

大小和方向變化的力F，作用於沿曲線運動物體的C點上（圖2）。當作用點有微小的位移dr時（|dr|=dS），在其上的力F可視為不變，因此，力F在微小位移dS上所作的元功為：

dA=FcosαdS=F·dr=F_xdx+F_vdy+F_zdz。

將整個路程上力在各微段的元功總和起來，得力F沿曲線ab的總功：

式中a、b為曲線運動的起止點。知道變力F隨路程S的變化關係，就可由上式求出功的量值。

物體作曲線運動時，法向力F_n與位移垂直不做功，故總功只與切向力F_i有關，即A=

合力的功 如有m個力F₁，F₂，···，F_m作用於物體的一點上，則這些力的功為：

式中R=

為諸力的合力，R_i為合力的切向分量。

力偶的功可表示為：

式中T為作用於剛體上的力偶矩；ω為剛體的角速度；t為時間。當剛體作平動時，ω=0，則力偶之功為零。當剛體作平面一般運動時，T和ω均可看作代數量，故有：

T和ω轉向相同時，取正號；相反時，取負號。

力與位移都是矢量。功是力與位移的內積，為標量。

故功的一般公式為：

非零力可以不做功，這一點與衝量不同。

力矩所做功可由下式計算得到：

其中為力矩。

做功相同，比時間。時間越短，做功越快。

時間相同，比做功。做功越多，做功越快。

做功和時間均不相同，比比值。 做功/時間的值越大，做功越快。

一個物體對外做了多少功，它就減少了多少能量。反之，外界對一個物體做了多少功，這個物體的能量就增加了多少。（功與能單位相同）

1、詞條作者：戴宗信．《中國大百科全書》74卷（第一版）力學 詞條：功：中國大百科全書出版社，1987 ：182頁