機器數

機器數有兩個基本特點：

1、數的符號數值化。實用的數據有正數和負數，由於計算機內部的硬件只能表示兩種物理狀態（用0和1表示），因此實用數據的正號“+”或負號“-”，在機器裏就用一位二進制的0或1來區別。通常這個符號放在二進制數的最高位，稱符號位，以0代表符號“+”，以1代表符號“-”。因為有符號佔據一位，數的形式值就不等於真正的數值，帶符號位的機器數對應的數值稱為機器數的真值。 例如二進制真值數-011011，它的機器數為 1011011。

2、二進制的位數受機器設備的限制。機器內部設備一次能表示的二進制位數叫機器的字長，一台機器的字長是固定的。字長8位叫一個字節（Byte），機器字長一般都是字節的整數倍，如字長8位、16位、32位、64位。 ^[1] 

根據小數點位置固定與否，機器數又可以分為定點數和浮點數。 通常，使用定點數表示整數，而用浮點數表示實數。整理如下：

1、整數。認為整數沒有小數部分，小數點固定在數的最右邊。整數可以分為無符號整數和有符號整數兩類。無符號整數的所有二進制位全部用來表示數值的大小；有符號整數用最高位表示數的正負號，而其他位表示數值的大小。例如十進制整數-65的計算機內表示可以是11000001。

2、實數。實數的浮點數表示方法是：把一個實數的範圍和精度分別用階碼和尾數來表示。在計算機中，為了提高數據表示精度，必須表示小數點的位置，因此規定浮點數必須寫成規範化的形式，即當尾數不為0時，其絕對值大於或者等於0.5且小於1（注：因為是二進制數，要求尾數的第1位必須是1）。例如設機器字長為16位，尾數為8位，階碼為6位，則二進制實數-1101.010的機內表示為0000100111010100。

3、機器數與真值。不帶符號的數是數的絕對值，在絕對值前加上表示正負的符號就成了符號數。直接用正號“+”和負號“-”來表示其正負的二進制數叫做符號數的真值。在計算機中不僅用0，1編碼的形式表示一個數的數值部分，正、負號亦同樣用0，1編碼表示。把符號數值化以後，就能將它用於機器中。我們把一個數在機器內的表示形式稱為機器數。而這個數本身就是該機器數的真值。“01101”和“11101”是兩個機器數，而它們的真值分別為+1101和-1101。

1、原碼

將數的真值形式中“+”號用“0”表示，“-”號用“1”表示時，叫做數的原碼形式，簡稱原碼。若字長為n位，原碼一般可表示為：

當X為正數時[X]原和X一樣，即[X]原 = X。當X為負數時 。由於X本身為負數，所以，實際上是將∣X∣數值部分絕對值前面的符號位上寫成“1”即可。

原碼錶示法比較直觀，它的數值部分就是該數的絕對值，而且與真值、十進制數的轉換十分方便。但是它的加減法運算較複雜。當兩數相加時，機器要首先判斷兩數的符號是否相同，如果相同則兩數相加，若符號不同，則兩數相減。在做減法前，還要判斷兩數絕對值的大小，然後用大數減去小數，最後再確定差的符號，換言之，用這樣一種直接的形式進行加運算時，負數的符號位不能與其數值部分一道參加運算，而必須利用單獨的線路確定和的符號位。要實現這些操作，電路就很複雜，這顯然是不經濟實用的。為了減少設備，解決機器內負數的符號位參加運算的問題，總是將減法運算變成加法運算，也就引進了反碼和補碼這兩種機器數。

2、反碼

如前所述，為了克服原碼運算的缺點，採用機器數的反碼和補碼錶示法。即對正數來説，其反碼和原碼的形式相同；對負數來説，反碼為其原碼的數值部分各位變反。

3、補碼

補碼是根據同餘的概念引入的，我們來看一個減法通過加法來實現的例子。假定當前時間為北京時間6點整，有一隻手錶卻是8點整，比北京時間快了2小時，校準的方法有兩種，一種是倒撥2小時，一種是正撥10小時。若規定倒撥是做減法，正撥是做加法，那麼對手錶來講減2與加10是等價的，也就是説減2可以用加10來實現。這是因為8加10等於18，然而手錶最大隻能指示12，當大於12時12自然丟失，18減去12就只剩6了。這説明減法在一定條件下，是可以用加法來代替的。這裏“12”稱為“模”，10稱為“-2”對模12的補數。推廣到一般則有：

A – B = A + ( – B + M ) = A + ( – B )補

可見，在模為M的條件下，A減去B，可以用A加上-B的補數來實現。這裏模(module)可視為計數器的容量，對上述手錶的例子，模為12。在計算機中其部件都有固定的位數，若位數為n，則計數值為 ，亦即計數器容量為 ，因此計算機中的補碼是以“ ”為模，其定義如下：

簡言之，對正數來説，其補碼和原碼的形式相同；而從（3）式和（4）式可以看出，對於負數，補碼為其反碼的末位加1。

總之，正數的原碼、反碼和補碼是完全相同的；負數的原碼、反碼和補碼其形式各不相同。另外，特別要注意的是，對於負數的反碼和補碼（即符號位為1的數），其符號位後邊的幾位數表示的並不是此數的數值。如果要想知道此數的大小，一定要求其反碼或補碼才行。 ^[1] 

1、反碼的算術運算

反碼運算要注意的問題：

（1）反碼運算時，其符號位與數值一起參加運算。

（2）反碼的符號位相加後，如果有進位出現，則要把它送回到最低位去相加（循環進位）。

（3）用反碼運算，其運算結果亦為反碼。在轉換為真值時，若符號位為0，數位不變；若符號位為1，應將結果求反才是其真值。

[例1] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用反碼計算Z = X-Y。

解： [X]反 = 01101，[-Y]反 = 11001，則[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 01101+11001+1（循環進位）= 00111 , 其真值為Z = +0111。

[例2] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用反碼計算Z = X-Y。

解： [X]反 = 00110，[-Y]反 = 10010，則[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 00110 + 10010= 11000 , 其真值為Z = - 0111。

採用反碼運算較好的解決了原碼運算所遇到的困難或問題，但由於循環進位需要二次算術相加，延長了計算時間，這同樣給電路帶來麻煩。而採用下述的補碼運算則可避免循環進位的兩次計算，同時，採用補碼運算對溢出的判斷也較採用反碼簡單的多，所以機器中的算術運算普遍採用補碼運算。

2、補碼的算術運算

補碼運算要注意的問題：

（1）補碼運算時，其符號位與數值部分一起參加運算。

（2）補碼的符號位相加後，如果有進位出現，要把這個進位捨去（自然丟失）。

（3）用補碼運算，其運算結果亦為補碼。在轉換為真值時，若符號位為0，數位不變；若符號位為1，應將結果求補才是其真值。

[例3] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用補碼計算Z = X-Y。

解： [X]補 = 01101，[-Y]補 = 11010，則[Z]補 =[X]補+[-Y]補 = 01101+11010

= 100111 , 其真值為Z = + 0111。

[例4] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用補碼計算Z = X-Y。

解： [X]補 = 00110，[-Y]補 = 10011，則[Z]補 =[X]補+[-Y]補 = 00110 + 10011

= 11001 , 其真值為Z = - 0111。

3、溢出及補碼溢出的判斷

無論採用何種機器數，只要運算的結果大於數值設備所能表示數的範圍，就會產生溢出。 溢出現象應當作一種故障來處理，因為它使結果數發生錯誤。異號兩數相加時，實際是兩數的絕對值相減，不可能產生溢出，但有可能出現正常進位；同號兩數相加時，實際上是兩數的絕對值相加，既可能產生溢出，也可能出現正常進位。

由於補碼運算存在符號位進位自然丟失而運算結果正確的問題，因此，應區分補碼的溢出與正常進位。

[例5] 某數字設備用五位二進制表示數，計算

（1）9+3 （2）-9-3 （3）9+12 （4）-9-12

解：（1）[+9]補+[+3]補= 01001+ 00011 = 01100 = +12 正確；

（2）[-9]補+[-3]補= 10111+ 11101 = 110100 = 10100（符號位進位自然丟失），其真值為-1100 = -12正確；

（3）[+9]補+[12]補= 01001 + 01100 = 10101 其真值為-1011 =-11錯誤，產生了溢出；

（4）[-9]補+[-12]補 = 10111+10100 = 101011 其真值為01011= +11 錯誤，產生了溢出。

（1）、（2）兩題結果均正確，查其最高位和次高位的進位位，不是均無進位產生，就是均產生進位；（3）、（4）兩題結果均錯誤，查其最高位和次高位的進位位，只有一位產生了進位。此即為判斷機器是正常進位還是溢出的基本依據，在微型機中可用異或電路來實現上述的判斷。 ^[2] 

1、定點表示法

定點，即小數點固定，固定在有效數位的最前面或最後面。因為位置是固定的，所以可以隱藏。

在最前面則表示純小數，在最後面則表示純整數，因此在定點計算機的編程語言中，純小數對應一種變量類型，純整數對應一種變量類型。

由於只能表示純小數或純整數，在編程時要設置合適的比例因子。

2、浮點表示法

N = M x rE

r是浮點數階碼的底，又叫尾數的基數，通常r=2，但可改變。

r增大，可表示數的範圍增大。

r增大，可表示數的個數增大。

r增大，可表示數的精度下降。

r增大，將使運算中移位的次數減少，運算速度提高。

E叫做階碼，純整數，常用移碼或補碼錶示。

M叫做尾數，純小數，常用原碼或補碼錶示。

E與M都是帶符號的定點數。

階碼存入階碼部件，尾數存入尾數部件，一個浮點數是由兩個不同的物理部件處理的，

機器就是這麼區分哪部分是階碼，哪部分是尾數的，各部件又可進行各種操作，如階碼的相加、相減、比較操作。

浮點數的表示範圍主要由階碼的位數決定，有效數字精度主要由尾數的位數決定。

浮點數的階碼常採用移碼錶示，最主要的原因為：

（1）便於比較浮點數的大小。階碼大的，真值就大；階碼小的，真值就小。

（2）簡化機器中的判0電路。當階碼全為0，尾數也全為0時，表示0。

同一數值的移碼和補碼除最高位相反外，其它各位相同。

移碼通常取2n-1或2n為偏置值。 ^[3]