樣條曲線

定義

樣條曲線是經過一系列給定點的光滑曲線。最初，樣條曲線都是藉助於物理樣條得到的，放樣員把富有彈性的細木條（或有機玻璃條），用壓鐵固定在曲線應該通過的給定型值點處，樣條做自然彎曲所繪製出來的曲線就是樣條曲線。樣條曲線不僅通過各有序型值點，並且在各型值點處的一階和二階導數連續，也即該曲線具有連續的、曲率變化均勻的特點。

樣條曲線——非均勻有理 B 樣條曲線

非均勻有理 B 樣條曲線（NURBS），是一種用途廣泛的樣條曲線，它不僅能夠用於描述自由曲線和曲面，而且還提供了包括能精確表達圓錐曲線曲面在內各種幾何體的統一表達式。自1983年，SDRC公司成功地將NURBS模型應用在它的實體造型軟件中，NURBS已經成為計算機輔助設計及計算機輔助製造的幾何造型基礎，得到了廣泛應用 ^[1]  。

AutoCAD 使用的就是這種NURBS數學模型來創建樣條曲線，這也是在MDT中進行曲面造型和實體造型的基礎。

在詳細闡明AutoCAD用於構造和修改NURBS曲線（以下簡稱“樣條曲線”）的各項功能之前，從數學和幾何角度瞭解關於NURBS曲線的幾個術語，是非常有必要的。這裏僅解釋與理解AutoCAD中的NURBS曲線有關的名詞，其它相關詳細數學知識，請參見有關資料。

NURBS曲線的相關術語

型值點或擬合點：所求的樣條曲線應通過的已知給定點。

特徵多邊形或控制多邊形：樣條曲線是由一些折線組成的多邊形構造出來的。簡單地説，以數值計算的方法，用光滑的參數曲線段逼近該折線多邊形，就構造出一條樣條曲線。改變該多邊形的頂點和個數，會影響曲線的形狀。這裏所説的折線多邊形，就是樣條曲線的特徵多邊形或控制多邊形 ^[2]  。

樣條曲線是由一組逼近控制多邊形的光滑參數曲線段構成，這些曲線段就是樣條曲線段。

特徵多邊形/控制多邊形的頂點/控制點

構成特徵多邊形的各段折線的端點，就是特徵多邊形的頂點，也叫做控制多邊形的控制點。只有在特殊情況下，樣條曲線才能通過控制點。

樣條曲線的次數，是由樣條曲線數學定義中所取的基函數所決定的。直觀的説，所構成樣條曲線的一段光滑參數曲線段，由控制多邊形的相鄰連續的幾段折線段決定，就是幾次樣條，最常用的就是二次和三次樣條。二次樣條的某一曲線段只與相應的兩段折線段，三個控制多邊形頂點有關，改變其中一個頂點，將影響三段樣條曲線段。同樣的，對三次樣條，某一曲線段由相應的三段折線段，四個控制點決定 ^[2]  。

階數與次數有關，樣條曲線的階是其次數加一。階數越高，控制點越多。二次樣條的階數是三，樣條曲線段由三個控制點決定；三次樣條的階數是四，樣條曲線段與四個控制點決定。

權值可控制樣條曲線段在控制多邊形範圍內做局部調整，反映了曲線靠近控制多邊形的程度，權值越大，曲線段越靠近控制多邊形。反之，則遠離。當權值為1時，NURBS曲線退化為非有理B樣條曲線，可見非有理B樣條曲線是NURBS的一個子集。

允差是指樣條曲線通過型值點的精確程度，允差越小，樣條曲線與型值點越接近，允差為零，樣條曲線將通過型值點 ^[3]  。

AutoCAD用 SPLINE 命令創建樣條曲線即 NURBS 曲線。還提供用 splinedit 命令，平滑多段線（POLYLINE）擬合生成近似樣條曲線，以下稱為“樣條擬合多段線”。這種曲線不是真正意義上的樣條曲線，而是由若干直線（曲線）段構成的多段線，逼近於樣條曲線。但使用 SPLINE 命令可把這種二維和三維樣條擬合多段線轉換為樣條曲線。

用SPLINE命令創建的樣條曲線和編輯平滑多段線生成的樣條擬合多段線相比，有以下不同：

樣條曲線顯然要比樣條擬合多段線精確的多。在工程應用中，樣條擬合多段線不能作為數學分析的基礎，不能在曲線上，生成切線、法線或提取曲線上的點位數據。

在以下樣例中（圖1），樣條曲線用於創建混凝土人行道的亮顯邊界 ^[4]  。