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模型理論

直接在結構即原型上進行的實驗，稱為原型實驗；在按照原型設計的模型上進行的實驗，則稱為模型實驗。一般説來，前者比後者更為真實。但在進行研究或對新設計方案進行比較，或者由於種種原因而不能進行原型實驗時，模型實驗就成為重要的手段。使模型和原型相似所根據的理論，稱為模型理論，它的基礎是相似理論。

中文名: 模型理論

外文名: model theory

模型理論理論基礎——相似理論

相似現象的同一物理量之比，稱為相似係數，或稱相似比例。所有相似係數之間，存在着某種關係式，稱為相似指標。與此對應，相似現象各物理量之間，也存在某種關係式，稱為相似判據。^[1]

模型設計和獲得相似量必須遵循的法則有三條：

A. 相似第一定理

相似現象用相同的方程式描述。彼此相似的現象，其相似指標等於1，其相似判據的數值相等。

B. 相似第二定理

描述一個現象各物理量之間的關係式，都可以寫成相似判據方程式。

C. 相似第三定理

單值條件相似，且從它導出的相似判據的數值相等，是現象彼此相似的充分和必要條件。單值條件包栝：幾何條件、初始條件、邊界條件以及對所研究的現象有重大影響的物理條件等。對於常温靜態彈性應力分析問題，主要考慮的是幾何條件、載荷條件、約束條件和泊松比條件。而對運動學和動力學的問題，則還要考慮初始條件和時間條件等。在複雜的模型實驗中，要求單值條件完全相似是有困難的，但應儘量保持相似。

模型理論確定相似判據的方法

相似判據是根據相似理論確定的，有下述兩種方法：

模型理論A. 方程式分析法

適用於已有數學方程描述的現象，以常温靜態實驗應力分析為例，按彈性力學，原型的靜力平衡方程為：

，（1）

式中為

正應力；

為剪應力；

為密度；x、y、z為座標。令

、

和

分別為應力相似係數、幾何尺寸相似係數和密度相似系統，l為幾何量（長度等），腳標p和m分別代表原型和模型。因模型和原型相似，故依相似第一定理，其相似指標和相似判據分別為：

（2）和

（3）

式（3）同時適用於原型和模型。這裏π是不變量。根據這些公式，可以得到在體積力作用下的應力轉換關係：

（4）

採用光彈性法時，常以離心力場代替重力場來模擬模型的自重作用。若模型受到的離心力為

，w為轉速，r為旋轉半徑，則式（4）中的被（g為重力加速度）代換後，得到：

（5）

為離心機的徑向加速度。

若不考慮體積力，則

為任意常數。相似指標為任意常數的情況，稱為自然模型化。在不考慮體積力的實驗應力分析模型中，只要模型和原型保持幾何相擬、載荷相似、約束條件相似和泊松比相等，則兩者的應力情況相似。

用同樣的方法分析本問題的邊界條件方程，可得出在分佈載荷p作用下的應力轉換關係：

。（6）

對於集中載荷，外力

，故有：

。（7）

對於二維問題，因為沿板厚

的應力均勻分佈，所以平面尺寸l和厚度可選取不同的相似係數，這時式（7）變為：

（8）

以上是分析彈性力學小位移基本方程得到的應力轉換關係。

模型理論B. 量綱分析法

這是一種廣泛應用的方法，對於那些還沒有數學方程的問題尤為重要。仍以常温靜態應力分析問題為例：

在此情況下，應力

和l、P、E（彈性模量）、

（泊松比）、p等有關。設

為結構中的某長度，則其他長度分別

，

…,

為有關的倍數。若某外力為P，則其他外力為

為相應的倍數。更以

表示外力作用方向，則得：

選用E、l 為基本單位，並用無量綱數表示，得：

然而相似現象的相似判據的數值相同，即

故可用量綱公式確定各指數。以

為例：

比較兩邊同類因子的指數，得到：

和

聯立解得

，。故有：

同樣可得：

和

，

而

若選E和

作為基本單位，它們都等於1，則式（10）可寫為：

這就是常温靜態彈性結構應力分析問題中各物理量之間的關係式，它是相似判據方程的雛形，對於沒有方程式的物理現象，只要從這種雛形出發，就不難用模型實驗法找出其函數關係來。

按上述的相似判據，還可得到應力的轉換關係。對於不考慮ρ的影響的模型實驗，在保證幾何相似、載荷相似、約束條件相似和的前提下，依據相似理論，對於相似現象，和應同時適用於模型和原型，則得：

（12）

和

（13）

由上兩式得：

（14）

式（14）和用方程式分析法得到的式（7）一樣。但是，在推導式（14）時，未限制變形的大小，故式（14）也適用於非線性彈性問題，只是必須同時滿足式（13）。這就是説，在選定模型材料和幾何相似係數後，載荷相似係數就不能任意逸擇。上述的小變形問題，屬於線性問題，可用疊加原理，因為這時應力、變形都和載荷成正比，故應用式（14）時不受式（13）的限制，從而在進行模型實驗時，彈性模量、幾何和載荷相似係數都可以任意選取。但要保證或近似保證，否則將在不同程度上破壞三維應力的相似。