概率邏輯

在數學上，概率理論從17世紀起，經過B.巴斯加爾、P.費馬、J.伯努利與P.-S.拉普拉斯等人的工作，到19世紀已趨向完整，並在科學技術中得到廣泛應用。19世紀末20世紀初又逐步出現了概率演算的一些公理系統，其中蘇聯的A.N.柯爾莫哥洛夫在1933年提出的公理系統影響較大。

在邏輯上，由於引入形式化和數學的方法，到20世紀初演繹邏輯已發展得較為完善。B.羅素與A.N.懷特海在1910年完成的《數學原理》一書，可以看作是數理邏輯完善到一定程度的一項成果。

在哲學史上，D.休謨曾對歸納提出非難。以F.培根、密爾為代表的古典歸納主義面臨嚴峻的挑戰。實證主義、邏輯經驗主義為了應付休謨提出的“歸納問題”，並能對科學理論給出相應的解釋，便將歸納命題的證明問題改為“確證”問題，並以概率值作為確證的量度，於是在20世紀20年代出現了概率邏輯，劍橋的哲學家W.E.約翰遜最早研究過概率邏輯問題，但一般公認J.M.凱恩斯提出了概率邏輯的第一個公理系統。J.尼柯德、F.韋斯曼、H.傑弗里斯、G.H.von萊特和H.賴興巴赫等人，都為建立概率邏輯做過有意義的工作。其中最有影響的是R.卡爾納普在50年代的工作。

邏輯概率是由數學家萊布尼茲(Leibniz) 首創的，而系統地提出邏輯概率併為此建立起一個邏輯概率體系的，則首推凱恩斯( Keynes) 。 他把概率看作兩組命題之間的邏輯關係的確定形式，如果預先知道觀察實驗材料或任何其它前提，則對於另一組假説歸納概括或任何似真的結論，可以賦予一定程度的概率。 他的理論體系是比較粗糙的，但由於他的首創性，為邏輯概率樹起了歷史的豐碑。 與凱恩斯持有同樣觀點的傑夫里斯 (Jeffreys) 則旗幟鮮明地推行邏輯概率，他直截了當地指出：概率所談的不是頻率而是邏輯關係。 他相信在大多數情況下，特別是在數理統計可以運用的場合，對概率是可以指定數值的。 而卡爾納普( Karnap) 則繼承了這兩個人的思想，他認為，邏輯概率是一種邏輯關係，是有點類似於邏輯藴涵的那種邏輯關係。卡爾納普的觀點一直廣為流傳，它揭示了概率與語義學之間的關係，表現出概率邏輯的實質。

概率邏輯系統在理論與實踐中遇到很多困難。概率邏輯實質上是歸納邏輯的演繹化，但在方法論上也存在着問題，而且已在邏輯上提出過幾種歸納悖論。從50年代以後，概率邏輯在現代數學、數理邏輯工具的影響下取得了多方面的進展，它日益與現代科學技術相結合，面臨着新的突破。 ^[1] 

亞里士多德在論述歸納問題時曾提出過類似於概率的頻率解釋的思想。G.W.萊布尼茨則用三值(0,1,1/2)近似地刻劃過概率的特性，並提出要將概率作為邏輯的一個分支。他甚至用概率和邏輯方法研究過波蘭國王的選擇問題。J.S.密爾在《邏輯體系》一書中，G.布爾在《論思維規律》一書中均用相當的篇幅討論過歸納與概率的關係。可見歸納的研究在量度上是與概率相關的。

在數學上，從17世紀起，經過B.巴斯加爾、P.費爾瑪、J.貝努利與 P.-S.拉普拉斯等人的工作，到19世紀已形成較完整的概率理論，並在科學技術中得到廣泛應用。19世紀末20世紀初又逐步出現了概率演算的一些公理系統，其中蘇聯的Α.Н.科爾莫戈羅夫在1933年提出的公理系統影響較大。

在邏輯上，由於演繹邏輯引入形式化和數學的方法，到20世紀初已發展得較為完善。B.A.W.羅素與A.N.懷特海在1910年完成的《數學原理》一書，可以看作是數理邏輯完善到一定程度的一項成果。

在哲學史上，D.休謨曾對歸納提出非難。以F.培根、密爾為代表的古典歸納主義面臨着嚴峻的挑戰。實證主義、邏輯經驗主義為了應付休謨提出的“歸納問題”，並能對科學理論給出相應的解釋，便將歸納命題的證明問題改為“確證”問題,並以概率值作為確證的量度,於是在20世紀20年代出現了概率邏輯。劍橋的哲學家W.E.約翰遜最早研究過概率邏輯問題，但一般公認J.M.凱恩斯提出了概率邏輯的第一個公理系統。J.尼柯德、F.韋斯曼、H.傑弗里斯、G.H.von萊特和H.賴興巴赫等人,都為建立概率邏輯做過有意義的工作。其中最有影響的是R.卡爾納普在50年代的工作。 ^[1] 

概率邏輯有不同的系統，但其中的大多數在結構上具有一些共同特點。一般是先給出一個概率演算的公理系統，然後對形式的概率定義和系統給出類似對形式系統給出的語義解釋，再以此對歸納推理加以處理，其中所用到的概率演算工具主要是貝葉斯定理與貝努利定理。 ^[2] 

凱恩斯在1921年給出的概率邏輯系統中，將命題a及其前提 h間的概率關係p記為a/h=p。該系統給出的初始定義有19條，並有 7條公理。但這個系統是不夠嚴格的。萊特在40年代給出的概率演算公理系統共有6條公理:①命題p對於另一命題h的概率度是唯一的，用p/h表示；②0≤p/h≤1；③若h→p，則p/h=1；④若h→p，則p/h=0；⑤p∧g/h=p/h×g/p∧h=g/h×p/g∧h；⑥p∧q/h=p/h+q/h-p∧q/h。其中 ⑤與 ⑥分別為乘法定理與加法定理。貝葉斯定理與貝努利定理可以由引理中給出。 ^[2] 

對概率公理系統所給出的解釋，凱恩斯用集合間的關係即證據集與假設集間的關係解釋概率度。在他所給出的符號P(a/h)=1/b中，概率值1/b為集合a、h之間的關係。但由於他對這種關係的涵義與處理不清楚，因而他的解釋存在着嚴重缺點。賴興巴赫則用相對頻率解釋概率，認為作為證據的命題序列 A與作為假設的命題序列 B之間存在着概率藴涵的關係，並用AЭB表示之。Э是作為初始符號引入的，故(P(A,B)=p)=df(AЭB)，p表示概率值。他指出，一歸納推理的命題是成立的，實質上是指有關命題序列存在着一定的頻率極限值，亦即滿足一定的概率值。在他看來，歸納推理是一種與概率度相關的漸近認定 (posit)，其取值與多值邏輯相關，但在給出某種公界值的條件下可化歸為二值邏輯。卡爾納普在50年代強調要區分概率1與概率2,前者為邏輯概率，即歸納概率或確證度，用C 函數表示，C(h,e)=p表示證據e對於假設h的確證度，其值為概率p；後者為概率的頻率解釋，但他並不採納。他對概率給出的是一種語義解釋。他遵循演繹邏輯的方法，先給出帶等詞的一階邏輯系統L，再在取自然數域的N上，將用以完全描述給定個體域的一切可能狀態的語句集定義為狀態描述，任一語句的取值由它所滿足的狀態描述確定。由此經過一定處理,該語句的值域就可用外延方法確定，並以量度函數 M量度。這樣，C由M確定，即C(h,e)=M(h∧e)/M(e),當M(e)≠0；否則C(h,e)無定義。因此，歸納命題是指e對h的部分藴涵。 ^[2] 

由此表明，卡爾納普是徹底地用演繹邏輯與外延方法處理歸納邏輯問題的。在對概率公理系統的解釋方面，還有一種概率的主觀解釋，這是與歸納過程中必然存在主觀因素相關的。這方面的研究與信念、決策論等有關。

概率邏輯系統在理論與實踐中遇到很多困難。概率邏輯實質上是歸納邏輯的演繹化，但在方法論上也存在着問題，而且已在邏輯上提出過幾種歸納悖論。從50年代以後，概率邏輯在現代數學、數理邏輯工具的影響下取得了多方面的進展，它日益與現代科學技術相結合，面臨着新的突破。 ^[2] 

概率邏輯中有的理論已經得到了實際的應用，比如主觀主義學派的理論被用來處理決策問題，形成了貝葉斯決策理論。 邏輯主義學派理論的意義主要不在於實際應用，而在於理論上的價值。這些理論為歸納法的合理性提供了邏輯的支持，從而為經驗科學的合理性奠定了邏輯基礎。但是理論和應用之間並沒有絕對的界限。國內人工智能界有學者用卡爾那普的理論來解決機器學習中的問題，使這一理論向實際應用方面邁進了一步。

如上所述，由於還沒有找到完全令人滿意的概率解釋，所以完全令人滿意的概率邏輯系統則無處尋覓。但是，各種概率解釋的互補性，各種概率邏輯系統的特殊性，使人們可以把握更多的“工具”，針對實際問題給予綜合

的、充分的運用。 ^[1]