極小條件

設(P,≤)是任意一個偏序集，考慮下述條件 ^[2]  ：

A極小條件：P中任意非空子集一定有極小元。

B降鏈條件：P中任意元素列{

|i=1,2...}如果能組成一個降鏈，

則存在一個正整數m，使得

。

C歸納條件:對於任意一種性質ε，若

(1)P中一切極小元(當它們存在時)具有性質ε；

(2)對於任意a∈P，如果一切真小於a的元素都具有性質ε，可推得a也具有性質ε，則P中所有元素都具有性質ε。

對偶地，可有：

A'極大條件：P中任意非空子集一定有極大元；

B'升鏈條件：P中任意元素列{

|n=1,2...}如果能組成一個升鏈，即

則存在一個正整數m,使得。

C'對偶歸納條件:對於任意一種性質ε，若

(1)P中一切極大元(當它們存在時)具有性質ε；

(2)對於任意a∈P，如果一切真大於a的元素都具有性質ε，可推得a也具有性質ε，則P中所有元素都具有性質ε ^[2]  。

定理1 對於任何偏序集(P.≤)，條件A,B,C(對偶地:A',B',C')彼此等價 ^[2]  。

證明 A→C設P滿足極小條件，ε是某一性質，並且歸納條件的前提成立，令

M={a|a∈P且a不具有性質ε}，

則M⊆P，若M≠∅，由A知M中有一極小元a∈M，根據歸納條件的前提，a不是P中的極小元，但是一切真比a小的元素不在M中，因而具有性質ε，由歸納條件的第二個前提推得a也具有性質ε，這與a∈M矛盾，故M=∅，即C成立。

C→B設P滿足歸納條件，規定；

元素a(a∈P)具有性質ε當且僅當任意由a開始的降鏈：

必穩定在有限項，即存在正整數n₀，使得

，顯然，P中一切極小元(當它們存在時)具有性質ε，設a∈P,並且所有真比a小的元素都具有性質ε，易證a亦具有性質ε，由C知P中所有元素都具有性質ε，故B成立。

B→A設B成立，若A不成立，則存在N⊆P,N≠∅，N無極小元。顯然N是無限集，任取a₁∈N，a₁不會是N的極小元，因此存在a₂∈N使得a₁>a₂,...假定已經找到a₁,a₂,...,a_k∈N，並且

,顯然a_k也不是N的極小元，於是存在a_k+1∈N,使得

,這樣繼續下去可得N中一列元素:

此與條件B矛盾，故A成立。

利用對偶原則知A',B',C'彼此等價。

歸納條件不僅使我們可依歸納法去進行證明，也可用歸納法來構造。

定理2 設(P，≤)是滿足極小條件的偏序集，W是任意給定的集合.則存在惟一的映射φ:P→W，滿足條件:

(1)在P的所有極小元上φ取給定的值；

(2)φ滿足給定的逆推關係，即對任意的a∈P，φ(a)由所有真小幹a的元素b(b<a)的值φ(b)惟一決定。

定理3 設(P，≤)是任意偏序集，則P滿足極小條件當且僅當P內的所有鏈都是良序集。

若(P,≤)是一個偏序集，a∈P，稱P的子集

為由a決定的開截段，相應地，(a]叫做由a決定的閉截段(或截段).

定理4設(P,≤)是一個良序集，A⊂P，則有

(1)A是P的上集

存在a∈P，使得A=(a]* ;(特別,∅是P的開截段)；

(2)a≤b(∀a,b∈P)

b

(a]*；

(3)若在P上添加一個最大元I*(I*∈P),記P* =P∪{I*},規定a≤I*(∀a∈P*)，而P中元素保持原來的序關係，則P*也是良序集 ^[2]  。