梁的基本理論

梁受到外荷載作用後，在橫截面上產生內力──剪力和彎矩。在一般情況下，橫截面上的剪力和彎矩是隨截面位置而變化。顯示剪力和彎矩沿着梁的軸線隨截面位置變化的圖線稱為剪力圖和彎矩圖。根據這些圖線可以確定最大剪力和最大彎矩的數值及其所在的截面位置（見影響線）。

梁的橫截面上與彎矩相應的彎曲正應力的算式為 σ=My/Iz

式中σ為彎曲正應力;M為橫截面上的彎矩;y為需求其應力的點離中性軸的距離；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩。直梁在彈性範圍內彎曲時，橫截面上的彎曲正應力在與中性軸垂直的方向系按直線變化（圖a、b）。在工程計算中應使梁的橫截面上的最大正應力不超過材料的容許正應力。 梁的橫截面上與剪力相應彎曲剪應力的算式為

τ=QS/bIz式中τ為彎曲剪應力；Q為橫截面上的剪力;S為需求其剪應力之點處的橫線至剪應力為零處（例如自由邊）的部分橫截面面積對中性軸的靜矩;b為需求其剪應力處橫截面的寬度（厚度）。一般情況下，最大剪應力發生在橫截面的中性軸上(圖c、d)。

在對梁進行強度計算時，必須同時滿足正應力和剪應力不超過材料的容許正應力和容許剪應力的條件。有時在梁的橫截面上某一點處，彎曲正應力及彎曲剪應力的數值均相當大(例如組合截面梁的翼板和腹板交界處)，在此種情況下還應按強度理論（見材料的強度理論）對該點進行強度校核。

工程結構中除了直杆的彎曲問題，還有平面曲杆的彎曲問題。平面曲杆在純彎曲情況下仍假定其橫截面保持為平面，但中性軸不再通過橫截面的形心而偏於靠近曲率中心的一側，橫截面上的彎曲正應力不再按直線變化而按雙曲線規律分佈，最大的正應力發生在橫截面的內側邊緣處。

如果樑上的荷載雖通過橫截面的剪切中心但與形心主慣性軸成一角度，則梁彎曲變形後的軸線不再位於荷載作用的平面內，這種彎曲稱為斜彎曲。此時可將外荷載分解為沿兩個互相垂直的形心主慣性軸方向的分力，它們分別引起平面彎曲，把兩個平面彎曲的解疊加可得出斜彎曲的解。

關於梁彎曲時的位移──撓度和轉角，常略去剪力的影響。通常用積分法、初參數法和共軛梁法得出梁的撓曲線方程或求算所需要的撓度和轉角。在工程設計中，常限制梁的最大撓度不超過容許值，以滿足對梁的剛度要求。對於由剪切彈性模量很小的某些複合材料製成的梁要考慮剪應力對位移的影響。

梁的支座反力數目超過了靜力平衡方程的數目稱為超靜定梁。求解超靜定梁，除需建必要的靜力平衡方程外，還須考慮梁的變形或位移的相容條件，以得到補充方程。選用超靜定梁常常是為了減少梁的撓度，並減小梁內的最大彎矩，從而節省材料。

工程結構中尚有一種由連續的彈性地基所支承的梁，即彈性地基梁。如鐵路工程中的軌枕，房屋工程中的鋼筋混凝土條形基礎等。對於彈性地基梁通常採用温克勒假設（見地基上樑和板）。

對於由理想彈塑性材料製成的梁，當按照彈性狀態進行設計時，是把危險截面上某些點處或一個邊緣上的應力控制在容許範圍內。這在某些情況下是偏於保守的。對於梁的另一種強度計算方法──極限荷載設計法，是以梁的橫截面上的彎曲正應力都達到屈服應力σs而出現所謂塑性鉸作為判別依據。一般地説，靜定梁出現一個塑性鉸時便喪失承載能力,即達到極限狀態。對於n次超靜定梁,出現n+1個塑性鉸時才喪失承載能力。塑性鉸所能承受的彎矩 MT可根據中性軸每側的拉應力及壓應力均達到壓服應力σs算得。如對於矩形截面梁,MT=σs×bh/4=1.5σsWz(Wz=bh/6，為彈性截面模量)，即按極限荷載設計法算得的極限彎矩 MT比按彈性狀態算得的彎矩大50%。按照所確定的極限狀態便於計算樑上荷載的極限值。